Aufgabe:
Definition: Das Vektorprodukt \( a \times b \) von zwei Vektoren \( a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) \) und \( b=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) \) im \( \mathbb{R}^{3}(=M(1 \times 3, \mathbb{R})) \) ist $$ a \times b:=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \in \mathbb{R}^{3} $$
Offensichtlich gilt für \( a, b, c \in \mathbb{R}^{3} \) $$ (a \times b) \cdot c^{t r}=\left|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|=(b \times c) \cdot a^{t r}=(c \times a) \cdot b^{t r} $$
Satz: Sei \( \phi_{s t} \) das Standardskalarprodukt auf dem \( \mathbb{R}^{3}, \) und seien \( a, b \in \mathbb{R}^{3} \).
(a) Es ist \( \phi_{s t}(a \times b, a)=\phi_{s t}(a \times b, b)=0 \)
(b) Es ist \( a \times b=0 \) falls \( a=0 \) oder \( b=0 \) ist. Im Fall \( a \neq 0 \) und \( b \neq 0 \) gilt $$ \|a \times b\|=\|a\| \cdot\|b\| \cdot \sin \angle(a, b) $$
(c) Falls a und b linear unabhängig sind, ist \( (a, b, a \times b) \) eine Basis des \( \mathbb{R}^{3} \). Dann hat die Basiswechselmatrix \( M(\mathcal{E},(a, b, a \times b)) \) eine positive Determinante, d.h. die Basis a, \( b, a \times b \) hat die gleiche Orientierung wie die Standardbasis \( \mathcal{E}=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) \)
(d) Durch die Eigenschaften in (a) bis (c) ist \( a \times b \) eindeutig bestimmt.
In dieser Aufgabe habe ich die a und b recht problemlos gelöst, allerdings weiß ich bei der c und auch bei der d nicht, wie ich überhaupt anfangen soll. Kann mir da eventuell jemand helfen? Bei der c müsste ich ja erstmal iregendwie eine Determinante für die Basiswechselmatrix aufstellen, aber keine Ahnung wie.
