Summe über alle ganze Zahlen

Question

Hab jetzt keine konkrete Aufgabe dazu oder so aber mich würde es interessieren wie ich ein solches Konstrukt:

$$x+r*y$$

so darstelle, dass für r gilt:

$$r=(...-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...)$$

Also r soll alle ganzen Zahlen sein, so dass ich quasi eine summe in diesen Format bekomme:

$$...(x-5y)+(x-4y)+(x-3y)+(x-2y)+(x-y)+(x)+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)+(x+4y)+(x+5y)...$$

Ich experimentier daran jetzt schon eine Weile herum schaff es aber nicht diese Summe mit einem Summenzeichen darzustellen. Deswegen bin ich auf zwei umgestiegen aber auch damit schaff ich es nicht wirklich - hat hier jemand eine Idee? 

gruß,

Gray

Answer 1

$$ \sum\limits_{r=0}^n(x+r\cdot y) $$

Comments

Hallöle,

danke für die Antwort dann erhalte ich aber nur +1y +2y +3y etc.

die negativen Werte fehlen dann ja quasi

also -1y -2y -3y

Ich hab mir überlegt vlt. einen zweiten indizes zu benutzen um das zu erreichen aber hab keinen wirklichen Ansatz

hast du vlt eine Idee?

lg

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Dann schreib nicht von r = 0, sondern von r = -n

Answer 2

Ich würde es so darstellen: \( \sum\limits_{r=-∞}^{\infty}{x+ry} \)

Comments

Hey stimmt für eine unendliche Summe könnte ich es so darstellen.

Würde die Summe aber gerne endlich belassen also z.B von r = 0 bis n

Hast du dafür vlt. auch eine Idee?

Danke schon mal

lg.

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Wenn du zweite Zeile deiner Summe von Termen rückwärts unter die erste schreibst:

...(x-5y)+(x- 4y)+(x- 3x)+(x- 2y)+(x-y)+x

+(x+5y)+(x+4y)+(x+3y)+(x+2y)+(x+y)...

und jetzt Übereinanderstehendes addierst, erhältst du:

...  2x  +   2x   +   2x   +    2x   +  2x   +x.

Also  ist die Summe n·2x+x =(2n+1)·x (ganz ohne Summenzeichen).

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Würde die Summe aber gerne endlich belassen also z.B von r = 0 bis n

das hat MontyPython geschrieben, worauf Dir dann die negative Zahlen fehlten. Es ist nicht klar, welche Anforderungen Du an diese Summe stellst.

Du kannst da als Grenzen hinschreiben, was Du willst - also so$$S = \sum\limits_{r = a}^b x + ry, \quad a,b \in \mathbb Z$$und wenn der Laufindex dann trotzdem bei \(0\) anfangen soll, so substituiere \(r = k+a\)$$S = \sum\limits_{k = 0}^{b-a} x + (k+a)y$$

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tut mir leid hätte meine Anforderungen an die Summe vlt genauer darstellen sollen.

Ich probiers ein wenig genauer darzustellen:

Ich hab mich halt folgendes gefragt: (der eigentliche Grund warum ich überhaupt auf diese idee gekommen bin)

Wenn ein Objekt, sagen wir mal ein Apfel bei x = 0 liegt.

dann bedeutet dass das ein weiterer Apfel der den Abstand y von x hat entweder bei +y oder -y liegen kann.Ich möchte jz aber quasi endlich viele Äpfel gleichmässig links und rechts von dem ersten Apfel verteilt darstellen, sodass zwischen jeden einzelnen Apfel immer y Abstand ist. In der Form x+r*y

Also der erste Apfel ist quasi bei x=0

der zweite und dritte bei x=-y bzw. x=y

was in diesem Fall ja einfach x+1y bzw. x-1y bedeutet.

der vierte und fünfte Apfel quasi bei x+2y bzw. x-2y

Ich möchte also quasi eine Summe die die Positionen all dieser Äpfel aufsummiert.(im Endeffekt kommt dann vlt. eine Zahl raus die nichts bedeutet aber mir geht es um die Darstellung der Folge mehr als um das Ergebnis der Summe)

Ich hoffe ich hab jetzt ein bischen klarer zeigen können, was ich mir von dieser Summe erwarte :

gruß,

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Ich könnt z.B folgende Darstellung wählen:

$$x+(-1)^{r} \cdot r \cdot y$$

dann erhalte ich zwar abwechslend positiv und negativ aber eben nur

x - y

x+2y

x-3y

x+4y

etc. aber es fehlt quasi

x+y

x-2y

x+3y

x-4y

etc.

Deswegen brauch ich meiner Meinung nach einen zweiten idizes zum Darstellen davon aber ich komm leider nicht drauf wie.

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Schreib bei meiner Antwort einfach r=-n statt r=0.

Answer 3

∑ (r = -∞ bis ∞) (x + r·y)