Bestimmen Sie die positive ganze Zahl a und die ganzen Zahlen b und c , für die gilt:

Question

Aufgabe.

Gegeben sei die Funktion f mit

 ƒ(x)= 64x / x² + 4  für alle x≥ 0 .

Bestimmen Sie die positive ganze Zahl a und die ganzen Zahlen b und c , für die gilt:

ƒ'( a )= 0 , b= ƒ''( a )  und c = ƒ( a ) .

Comments

Was hindert dich daran, dass Gleichungssystem

        ƒ'(a) = 0
        b = ƒ''(a)
        c = ƒ(a)

zu lösen?

Überprüfe auch mal, ob die Funktionsgleichung tatsächlich

        \(f(x)=\frac{64x}{x^2}+4\)

lautet.

Answer 1

Wohl eher so:

f(x)=64x / ( x^2 +4) ==>   f ' (x) = (-64x^2 + 256) / ( x^2 + 4) ^2

Also gilt f ' (a)=0 nur für a=2 oder für a=-2

Und weil es positiv sein soll, also a=2 .

Damit bekommst du b=16 und c=-4

Answer 2

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion:$$f(x)=\frac{64x}{x^2+4}\quad;\quad x\ge0$$und benötigen die beiden ersten Ableitungen.

$$f'(x)=\frac{\overbrace{64}^{=u'}\cdot\overbrace{(x^2+4)}^{=v}-\overbrace{64x}^{=u}\cdot\overbrace{2x}^{=v'}}{(x^2+4)^2}=-\frac{64(x^2-4)}{(x^2+4)^2}$$$$f''(x)=-\frac{\overbrace{128x}^{=u'}\cdot\overbrace{(x^2+4)^2}^{=v}-\overbrace{64(x^2-4)}^{=u}\cdot\overbrace{2(x^2+4)\cdot2x}^{=v'}}{(x^2+4)^4}=\frac{128x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$$

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Nullstellen des Zählers$$0\stackrel!=64(x^2-4)=64(x-2)(x+2)$$Die positive Nullstelle liegt bei:\(\quad a=2\)

Wir setzen \(a=2\) in die zweite Ableitung ein:\(\quad b=f''(2)=-4\)

Wir setzen \(a=2\) in die Funktionsgleichung ein:\(\quad c=f(2)=16\)