Aloha :)
Das Rechteck habe die Seitenlängen \(a\) und \(b\) und den Umfang \(30\,cm\). Das heißt:$$2a+2b=30\quad\Rightarrow\quad a+b=15\quad\Rightarrow\quad b=15-a$$Nach Pythagoras gilt dann für die Diagonale \(d\):$$d^2=a^2+b^2=a^2+(\underbrace{15-a}_{=b})^2=a^2+(15^2-30a+a^2)=2a^2-30a+225$$Wenn die Diagonale \(d\) minimal ist, ist auch \(d^2\) minimal und umgekehrt. Wir finden das Minimum daher durch Ableiten von \(d^2\) nach \(a\):$$0\stackrel{!}{=}4a-30\quad\Rightarrow\quad a=7,5\quad\Rightarrow\quad b=15-a=7,5$$Die Diagonale ist also minimal, wenn das Rechteck ein Quadrat mit der Seitenlänge \(7,5\,cm\) ist.
