Maxima und Minima unter Nebenbedingungen bestimmen

Question

Bestimmen Sie Maxima und Minima der Funktion g : ℝ^3→ ℝ, g(x, y, z) := x^2 + y^2 + z^2 auf der Menge M:= {(x,y,z)∈ℝ^3: x+y+z=0, x^2/9+y^2/4+z^2 −1=0}.

Uns wurde gesagt wir sollen alle Gleichungen beachten.

Answer 1

Hier meine Lösung die erst nach den folgenden Kommentaren entstand.

Nebenbedingung 1
x + y + z = 0 → z = -x - y

Hauptbedingung
x^2 + y^2 + z^2 → x^2 + y^2 + (-x - y)^2 = 2·x^2 + 2·x·y + 2·y^2

Nebenbedingung 2
x^2/9 + y^2/4 + z^2 - 1 = 0
4·x^2 + 9·y^2 + 36·z^2 - 36 = 0
4·x^2 + 9·y^2 + 36·(-x - y)^2 - 36 = 0
40·x^2 + 72·x·y + 45·y^2 - 36 = 0

Langrange-Funktion
L(x, y, k) = 2·x^2 + 2·x·y + 2·y^2 - k·(40·x^2 + 72·x·y + 45·y^2 - 36)
L'x = 4·x + 2·y - k·(80·x + 72·y) = 0 → k = (2·x + y)/(40·x + 36·y)
L'y = 2·x + 4·y - k·(72·x + 90·y) = 0 → k = (x + 2·y)/(36·x + 45·y)

k gleichsetzen
(2·x + y)/(40·x + 36·y) = (x + 2·y)/(36·x + 45·y) → y = -0.9191149271·x ∨ y = 1.289485297·x

Für y = -0.9191149271·x
40·x^2 + 72·x·(-0.9191149271·x) + 45·(-0.9191149271·x)^2 - 36 = 0 → x = -1.743826780 ∨ x = 1.743826780
x1 = -1.743826780
y1 = -0.9191149271·(-1.743826780) = 1.602777223
G1 = 2·(-1.743826780)^2 + 2·(-1.743826780)·(1.602777223) + 2·(1.602777223)^2 = 5.629721642 (Maximum)

x2 = 1.743826780
y2 = -0.9191149271·(1.743826780) = -1.602777223
G2 = 2·(1.743826780)^2 + 2·(1.743826780)·(-1.602777223) + 2·(-1.602777223)^2 → 5.629721642 (Maximum)

Für y = 1.289485297·x
40·x^2 + 72·x·(1.289485297·x) + 45·(1.289485297·x)^2 - 36 = 0 → x = -0.4163578696 ∨ x = 0.4163578696
x3 = -0.4163578696
y3 = 1.289485297·(-0.4163578696) = -0.5368873511
G3 = 2·(-0.4163578696)^2 + 2·(-0.4163578696)·(-0.5368873511) + 2·(-0.5368873511)^2 = 1.370278354 (Minimum)

x4 = 0.4163578696
y4 = 1.289485297·(0.4163578696) = 0.5368873511
G4 = 2·(0.4163578696)^2 + 2·(0.4163578696)·(-0.9532452206) + 2·(-0.9532452206)^2 = 1.370278353 (Minimum)

Comments

Ich weiß leider immernoch nicht, was ich dann machen muss... habe jetzt nach dem ich z=-x-y eingesetzt habe Folgendes:

10/9x^2+5/4y^2+xy=1 und 2x^2+2y^2+xy

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Wäre wirklich sehr lieb wenn mir jemand weiterhelfen könnte

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Als Nebenbedingung habe ich

10/9·x^2 + 2·x·y + 5/4·y^2 - 1 = 0

Kannst du das Prüfen?

Dann könntest du damit die Lagrange-Funktion aufstellen und die partiellen Ableitungen bilden und das entstehende Gleichungssystem lösen? Wobei scheiterst du da genau?

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Die Nebebenbedingung habe ich auch raus.

Ich weiß aber nicht, wie ich die Lagrange Funktion aufstelle...

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Habt ihr die bisher nicht behandelt gehabt oder hast du es nur vergessen oder woran liegt das? Wenn ihr sie nicht hattet, dann solltest du erklären mit welchem Verfahren du kennst. Wenn du es vergessen hast kannst du sicher irgendwo nachschauen. Buch, Skript, Internet...

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Wir hatten die Lagrangesche Multiplikation, also dass zu einer Funktion f die stetig differenzierbar ist mit Nebenbedingung g(x)=0  ein λ existiert sodass grad f(a)= λ g‘(a).

a ist das lokale Extremum.

Also wäre hier f= x^2+y^2+z^2 ? Und g dann g=10/9x^2+2xy+5/4y^2-1=0?

Dann wäre die Gleichung

(2x,2y,2z)= λ(20/9x+2y, 10/4y+2x,0)

Oder?

Wäre dann das Gleichungssystem:

2x=λ_1*(20/9x+2y)

2y=λ_2*(19/4y+2x)

2z=λ_3*0

?

Oder muss ich jetzt auch noch x+y+z=0 und x^2/9+y^2/4+z^2-1=0

Mit aufnehmen?

Und wie löse ich das Gleichungssystem dann? Also wie komme ich dann auf Max und Min?

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Oder muss ich statt der ausgangsfunktion die ausgangsfunktion mit für    z=-x-y eingesetzt nehmen?

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Richtig. Das Verfahren unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator

Bei mir sieht die Lagrange-Funktion wie folgt aus

L(x, y, k) = 2·x^2 + 2·y^2 + x·y + k·(10/9·x^2 + 2·x·y + 5/4·y^2 - 1)

Man hätte aber durchaus vorher die Nebenbedingung noch verschönern können.

L(x, y, k) = 2·x^2 + 2·y^2 + x·y + k·(40·x^2 + 72·x·y + 45·y^2 - 36)

Davon bildet man die partiellen Ableitungen und setzt diese Null und löst das entstehende Gleichungssystem.

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Wir haben die Lagrange Funktion nicht gehabt, nur das Verfahren wie oben wo man den gradienten von der Funktion mit Lamda mal die Ableitung der Nebenfunktion gleichsetzt..

Muss ich dann die Funktion mit z oder mit z=-x-y benutzen?

Und muss ich bei der Nebenfunktion beide Gleichungen oder nur die eingesetzte beachten?

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Der Gradient sind ja die partiellen Ableitungen.erster Ordnung.

Also bilde von meiner Funktion den Gradienten.

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Da hätte ich (k(80x+72y)+4x+y, k(90y+72x)+4y+x, 45y^2+72xy+40x^2-36)

Aber wenn ich die jeweils =0 setze bekomme ich das Gleichungssystem nicht gelöst

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L(x, y, k) = 2·x2 + 2·y2 + x·y + k·(40·x2 + 72·x·y + 45·y2 - 36)

Müsste es nicht +2xy sein?

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Müsste es nicht +2xy sein?

Warum?

L'x = 4·x + y + k·(80·x + 72·y) = 0
L'y = 4·y + x + k·(72·x + 90·y) = 0
L'k = 40·x^2 + 72·x·y + 45·y^2 - 36 = 0

Erste Gleichung z.B. nach k auflösen

4·x + y + k·(80·x + 72·y) = 0 --> k = - (4·x + y)/(80·x + 72·y)

In die zweite Gleichung einsetzen und z.B. nach y- Auflösen

4·y + x - (4·x + y)/(80·x + 72·y)·(72·x + 90·y) = 0 --> y = - 0.9288967350·x ∨ y = 1.130916937·x

Das in die dritte Gleichung einsetzen und nach x auflösen.

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Weil x^2+y^2+z^2 mit z=-x-y

X^2+y^2+(-x)^2+y^2-2*(-x)*y =2x^2+2y^2+2xy ist oder nicht?

Dankeschön! Die Rechnung verstehe ich jetzt

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Richtig.

2·x^2 + 2·y^2 + 2·x·y

Ich hatte mit deiner Antwort

https://www.mathelounge.de/723428/maxima-und-minima-unter-nebenbedingungen-bestimmen?show=723746#c723746

weitergerechnet gehabt ohne auch die zu prüfen :)

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Vielen Dank fürs helfen!

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Schau mal ob du am Ende das Kontrollergebnis von Wolframalpha heraus bekommst.

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Eine Frage noch, wie sind sie auf das Ergebnis von y gekommen, bekomme die Gleichung nicht gelöst...

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Zunächst vereinfachst du die Gleichung. Dann hast du eine quadratische Gleichung, die du mit pq-Formel lösen kannst.

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Ich komme aber nicht von 4y+2x+(4x+2y)/(80x+72y)*(72x+90y)=0

Zu einer quadratischen Gleichung...

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4·y + 2·x + (4·x + 2·y)/(80·x + 72·y)·(72·x + 90·y) = 0

(4·y + 2·x)·(80·x + 72·y) + (4·x + 2·y)·(72·x + 90·y) = 0

(160·x^2 + 464·x·y + 288·y^2) + (288·x^2 + 504·x·y + 180·y^2) = 0

448·x^2 + 968·x·y + 468·y^2 = 0 --> y = - 1.369270013·x ∨ y = - 0.6991060549·x

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Mit den y Werten komme ich auf die 4 x Werte mit y jeweils:

x=1,757266814 —> y= -1,22851587

x=-1,757266814 —> y= 1,22851587

x=1,181636477 —>  y=-1,617979394

x=-1,181636477 —> y= 1,617979394

Stimmt das?

Und was sind jetzt die Max oder min

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Ich hatte jetzt nur 1 k ausgerechnet, das obere

Das habe ich in die 2. Gleichung eingesetzt und nach y aufgelöst

Aber für y von x Abhängig hatte ich das selbe raus wie du

Dann hatte ich die x Werte jeweils in die 3. Gleichung eingesetzt und insgesamt 4 x Werte erhalten

Dann hab ich jetzt dazu die y Werte berechnet in dem ich x in die jeweiligen y(x) eingesetzt habe

Und dann habe ich noch mit z=-x-y die z Werte bestimmt sodass ich jetzt 4 wertepaare habe die beim einsetzen in x^2+y^2+z^2 alle positiv sind

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Ich komme aber nicht von 4y+2x+(4x+2y)/(80x+72y)*(72x+90y)=0 Zu einer quadratischen Gleichung...

Ich denke hier ist schon ein Fehler drin.

k = (4·x + 2·y)/(80·x + 72·y)

setzten wir in

2·x + 4·y - k·(72·x + 90·y) = 0

ein und erhalten

2·x + 4·y - (4·x + 2·y)/(80·x + 72·y)·(72·x + 90·y) = 0

Sehe ich das verkehrt?

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ja das stimmt, ich habe versehentlich + gerechnet

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Dann sind die Werte von y in Abhängigkeit von x auch falsch oder

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Dann sind die Werte von y in Abhängigkeit von x auch falsch oder

richtig. Daher ist es in Mathematik immer sehr wichtig sorgsam zu arbeiten. Denn wenn man bei einer Schreibarbeit von 20 DIN A4 Seiten auf der ersten Seite ein Vorzeichenfehler hat, dann kann man nicht davon ausgehen das alle 19 Seiten die auf die erste folgen trotzdem richtig sind :-)

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Aber ist mein weiteres Vorgehen richtig?

Die y(x) setze ich in die 3. Funktion ein und dann bekomme ich insgesamt 4 verschiedene x Werte je 2 gehören zu einer y(x) Funktion und dann berechne ich die 4 x Werte und die 4 z Werte

Dann habe ich 4 extremstellen

Wie kann ich dannprüfen ob es Max oder min ist?

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Das kannst du direkt am Funktionswert ablesen. Warum geben die größeren Funktionswerte die Hochpunkte und die kleineren Funktionswerte die Tiefpunkt?

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Ich habe jetzt die Extremstellen:

a_11=(0.4103578696,0.5291504394,-0.939508309)

a_12=(-0.4103578696,-0.5291504394,0.939508309)

a_21=(1.74382678,-1.602777224,-0.141049556)

a_22=(-1.74382678,1.602777224,0.141049556)

Wirklich erkennen was Max und min ist tue ich aber nicht 

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wenn ich das in g(x,x,z)= x^2+y^2+z^2 einsetze erhalte ich

g(a_11)=g(a_12)= 1,331069631

g(a_21)=g(a_22)= 5,629721646

Also sind a_11 und a_12 Minima und a_21 und a_22 maxima?

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Fast. Die 5.6297 kann ich bestätigen. Das andere sind bei mir 1.3703.

Plot

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Oh ja danke hab mich verschrieben, super ich hab’s!

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Hi,

diese Aufgabe interessiert mich auch. Kannst du vielleicht den Lösungsweg als Ganzes einstellen. Dann muss ich mir das hier nicht zusammenbasteln um das chronologisch zu verstehen. :)

Wäre dir sehr dankbar.

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diese Aufgabe interessiert mich auch. Kannst du vielleicht den Lösungsweg als Ganzes einstellen. Dann muss ich mir das hier nicht zusammenbasteln um das chronologisch zu verstehen. :)

Mach das ruhig mal. Davon lernst du am meisten als wenn du nur meine Musterlösung abschreibst.

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Hi,

da hast du natürlich recht. Aber mein Problem ist, dass ich ab dem Punkt mit den Gleichungssystemen/ Lagrange nicht mehr wirklich verstehe, was da gemacht wurde und ich da nicht mehr mitkomme.

Deshalb wollte ich anfragen ob man das übersichtlicher hat.

Aber natürlich hast du mit dem Lernen recht.

MfG

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Ganz oben findest du jetzt meine Kurzlösung.

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Wow, vielen herzlichen Dank. Das ist eine große Hilfe zum Verstehen.

Dürfte ich mich melden falls ich etwas nicht verstehe?

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Eigentlich sollte im Zusammenhang mit dem Kommentar hoffentlich alles klar sein, auch wenn ich einen kleinen Teil etwas einfacher gerechnet habe.