Aufgabe:
Seien \( f \in C^{1}\left(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}\right), x \in \mathbb{R}^{n} . \) Betrachten Sie das Problem der Suche nach der Richtung steilsten Abstiegs
$$ d^{*}=\underset{\|d\|<1}{\arg \min } \nabla f(x)^{T} d $$ (a) Bestimmen Sie die Lösung des Minimierungsproblems für \( \|\cdot\|=\|\cdot\|_{A} \) für eine symmetrische positiv definite Matrix \( A, \) d. h. zeigen Sie, dass $$ d^{*}=-\lambda A^{-1} \nabla f(x) $$
für \( \lambda \geq 0 \) ist.
(b) Bestimmen Sie die Lösung des Minimierungsproblems für \( \|\cdot\|=\|\cdot\|_{1}* \)
(c) Bestimmen Sie die Lösung des Minimierungsproblems für \( \|\cdot\|=\|\cdot\|_{\infty}* \)
(d) Beschreiben Sie das Verhalten der Lösung \( d^{*} \) für \( \|\cdot\|=\|\cdot\|_{1} \) und \( \|\cdot\|=\|\cdot\|_{\infty} \) in Worten.
Könnte mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen?
Muss ich für a den Lanczos-Prozess verwenden ?
Ansonsten habe ich dazu nämlich keinen Ansatz gefunden...
