Aloha :)
Ich habe mir angesehen, welche Fragen du die letzte Zeit gestellt hast und gemerkt, dass ihr vermutlich gerade Matrizen im Unterricht besprecht. Daher formuliere ich die Lösung des Problems mit Matrizen.
Wir setzen die 4 Punkte \((5|81),(6|94),(10|109),(13|106)\) in die Funktionsgleichung$$y(x)=b_1+b_2x+b_3x^2$$ein und erhalten folgendes Gleichungssystem:$$\begin{array}{r}b_1&+&5b_2&+&25b_3&=&81\\b_1&+&6b_2&+&36b_3&=&94\\b_1&+&10b_2&+&100b_3&=&109\\b_1&+&13b_2&+&169b_3&=&106\end{array}$$Wenn wir das als Matrixgleichung hinschreiben$$\left(\begin{array}{r}1& 5 & 25\\1 &6 & 36\\1 & 10 & 100\\ 1 & 13 & 169\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}81\\94\\109\\106\end{pmatrix}$$erhalten wir ein sogenanntes "überbestimmtes" Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Variablen. Zum Lösen könnten wir nun versuchen, einfach eine Gleichung wegzulassen und dann die 3 Unbektannten \(b_1,b_2,b_3\) wie gewohnt aus 3 Gleichungen zu berechnen. Das Ergebnis wird dann im Allgemeinen aber nicht die 4-te Gleichung erfüllen, schon gar nicht, wenn es sich um Messwerte mit Schwankungen handelt. Mit Hilfe der Gauß'schen Methode der kleinsten Fehlerquadrate kann man jedoch die "otpimalen" Werte \(b_1,b_2,b_3\) im Sinne einer minimierten Standardabweichung finden. Bei Matrizen ist diese sehr einfach anwendbar. Das überbestimmte Gleichungssystem wird einfach von links mit der transponierten Matrix multipliziert und dann gelöst:
$$\left(\begin{array}{r}1& 1 & 1 & 1\\5 &6 & 10 & 13\\25 & 36 & 100 & 169\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1& 5 & 25\\1 &6 & 36\\1 & 10 & 100\\ 1 & 13 & 169\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{r}1& 1 & 1 & 1\\5 &6 & 10 & 13\\25 & 36 & 100 & 169\end{array}\right)\begin{pmatrix}81\\94\\109\\106\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{r}4 & 34 & 330\\34 & 330 & 3538\\330 & 3538 & 40482\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}390\\3437\\34223\end{pmatrix}$$
Die Lösung liefert die gesuchten Werte für die Koeffizienten:$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11,5268886043559\\18,593149807939\\-0,873559539052479\end{pmatrix}$$$$\boxed{y(x)=11,5269+18,5941x-0,8736x^2}$$
Nach \(x=19\,\mathrm m\) beträgt die Flughöhe \(y(19)\approx49,4452\,\mathrm m\).
Der Auftreffpunkt der Kugel auf dem Boden folgt mit pq-Formel: \(x_E=21,8873\,\mathrm{m}\).
~plot~ 11,5269+18,5941x-0,8736x^2 ; {5|81} ; {6|94} ; {10|109} ; {13|106} ; {19|49,45} ; {21,89|0} ; [[-1|25|-1|115]] ~plot~
