Kompetenzaufgabe zu exponentiellen Funktionsgleichungen? Anzahl Fliegen kann in 14 Tagen auf das 400-fache steigen.

Question

Essigfliegen:

(...)Ihre Anzahl kann sich innerhalb von 14 tagen auf das 400-fache steigern, deren Wachstum ist exponentiell unter optimalen Bedingungen.
a)Stelle eine Funktionsgleichung auf, in der die Anzahl E der Essigfliegen in Abhängigkeit von der Zeit x (in Tagen) beschrieben wird. skizziere den zughörigen graphen für einen anfangsbestand von 10 fliegen..

Bei Fragen bitte nen Kommentar da lassen...

der Graph muss nicht gezeichnet bzw. gemacht werden brauche nur die Gleichung !

Answer 1

Nun, die allgemeine Formel für das exponentielle Wachstum ist :

B ( t ) = B ( 0 ) * e ^{k * t}

mit

B ( 0 ) : Bestand zum Zeitpunkt t = 0 

B ( t ) : Bestand zum Zeitpunkt t

t : Zeit

k : Wachstumsfaktor

 

Da es hier um Essigfliegen gehen soll, werde ich statt B ( 0 ) bzw.  B ( t ) im Folgenden E ( 0 ) bzw. E ( t ) schreiben.

Die allgemeine Formel lautet dann also:

E ( t ) = E ( 0 ) * e ^{k * t}

Zunächst muss der Wachstumsfaktor k bestimmt werden. Das gelingt durch Verwertung der Information, dass die Anzahl der Essigfliegen sich in 14 Tagen auf das 400-fache erhöht. Es muss dann also offenbar gelten:

E ( 14 ) = E ( 0 ) * e ^{k * 14}

und

E ( 14 ) = 400 * E ( 0 )

also: 

400 * E ( 0 ) = E ( 0 ) * e ^{k * 14}

<=> 400 = e ^{k * 14}

<=> ln ( 400 ) = k * 14

<=> k = ln ( 400 ) / 14 = 0,42796175

Diesen Faktor setzt man in die allgemeine Formel ein und erhält die gesuchte Formel:

E ( t ) = E ( 0 ) * e ^{0,42796175 * t}

Für einen Anfangsbestand von E ( 0 ) = 10 Essigfliegen erhält man daraus:

E ( t ) = 10 * e ^{0,42796175 * t}

Den Graphen zu dieser Funktion kann man hier bestaunen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=10*exp%280.427962*t%29from0to15

Man sieht, dass sich bei t = 14 die Anzahl der Essigfliegen auf 4000 erhöht hat, also auf das 400-fache des Anfangsbestandes von 10 Essigfliegen.