Hülle, Rand... eines topologischen Raums bestimmen

Question

Bestimmen Sie ϑM, ¬M und M° für die Teilmenge

$$M := \{ (x, cos\frac{1}{x} : 0 < x < \frac{1}{\pi} \}$$

des ℝ² der mit der euklidischen Norm ausgestattet sei.

Könnte mir jemand erklären wie das geht, damit ich die nächsten Aufgaben selber schaffe? Das wäre sehr hilfreich.

Answer 1

Hallo,

vielleicht hilft es, sich klar zu machen, dass \((x,\cos(1/x))\) einfach als \((x,f(x))\) mit \(f: (0,\pi ^{-1}) \to (-1,1), x\mapsto \cos \frac{1}{x}\) geschrieben werden kann.

Mein Tipp wäre jetzt, dass \(M^{\circ}=\text{Bild}(f)=(-1,1)\) und \(\partial M = \{-1,1\}\) und damit \(\overline{M}=M^{\circ} \cup \partial M=[-1,1]\).

Was hältst du davon?

Ich hänge die Funktion mal an, die sollte man auf jeden Fall mal gesehen haben :P

Comments

Da vertust du dich leider.

\( f: (0,\pi ^{-1}) \to (-1,1), x\mapsto \cos \frac{1}{x} \)

1 und -1 werden von der Funktion getroffen.

M ist der Graph der Funktion (also ein Objekt im \( \mathbb{R}^2 \))

Egal welchen Punkt du auf dem Graphen betrachtest, wirst du keine \( \varepsilon\)-Umgebung um diesen finden, s.d. diese komplett im Graphen liegt.

~draw~ gerade(-5|-5 5|5);kreis(0|0 2);zoom(10) ~draw~

Sobald du nämlich ein bisschen (z.B. \( \frac{\varepsilon}{2} \)) vom Graphen nach oben oder unten gehst bist du nicht mehr auf dem Graphen, aber sehr wohl noch in der \( \varepsilon\)-Umgebung. Insbesondere ist also kein Punkt ein innerer Punkt \( \implies M^\circ = \emptyset \) und damit auch \( \overline M = \partial M \).

Um jetzt den Abschluss von M zu finden sucht man die Berührungspunkte (x,y) des Graphen, für \( x \neq 0 \) liegt ein Berührungspunkt nur vor, falls \( (x,y) \in M \). Für \( x = 0 \) hat man noch Berührpunkte solange \( y \in [-1,1] \). Der Abschluss sollte also \( \overline M = M \cup (\{0\} \times [-1,1]) \) sein. Frag mich aber nicht wie man hier stringent begründet :D