Sei U ⊂ ℝ^n offen und f ∈ C^2 (U), d. h. f : U → ℝ sei zweimal stetig differenzierbar. a ∈ U heißt kritischer Punkt (auch stationärer Punkt) von f , falls grad f (a) = 0 ist, und ein kritischer Punkt heißt nicht ausgeartet, falls zusätzlich Hess f (a) invertierbar ist.
(a) Zeigen Sie: Ist a ein nicht ausgearteter kritischer Punkt, so existiert ε > 0, so dass in B(a, ε) keine weiteren kritischen Punkte von f liegen. (Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung grad f : U → ℝ^n.)
(b) Geben Sie eine Funktion f als Beispiel dafür an, dass die Folgerung nicht gilt, wenn a ausgeartet sein darf. Hierbei soll f nicht konstant sein.
Ich habe leider keine Idee wie man auf die Lösung zu dieser Aufgabe kommen soll... kann mir jemand weiterhelfen?
