Rechteck mit einer Reihe von Dreiecken

Question

Aufgabe:

Im Rechteck mit den Seitenlängen a = 2 und b = 3 wird von P1 über P \( _{2} \), P\(_{3}\) usw. ein Streckenzug mit unendlich vielen Strecken gezeichnet. Die grauen Dreiecke werden der Reihe nach nummeriert (vgl. Abbildung)

a) Berechnen Sie die Summe der Umfänge aller (unendlich vielen) grauen Dreiecke.

b) Wie viel Prozent der Rechtecksfläche wird von den (unendlich vielen) grauen Dreiecken abgedeckt?

c) Welche Nummer trägt das erste Dreieck mit Flächeninhalt kleiner als \( 10^{-4} \) ?

d) Der Zickzack-Weg \(P_1, P_2,P_3,P_4,P_5,....\) wird immer länger. Wie viele Wegstücke muss man mindestens summieren, damit der Weg eine Länge von mehr als 12 erhält?

 Moin servus

Wie kann ich alle diese Aufgaben machen? Wie komme ich bei a) auf die methode zum die Summe aller unendlich vielen Dreiecken zu berechnen?? Hat das was mit dem thema „Folgen und Reihen“ zu tun?

Bei b): wenn ich a) hätte, habe ich ja die UMFÄNGE und nicht den FLÄCHENINHALT, wie soll man denn da auf die Fläche kommen??

Bei c): Müsste ich da einfach knobeln? (wenn ich b) hätte würde ich es vielleicht verstehen)

Bei d) da habe ich garkeine ahnung was machen

Answer 1

Ist die klar, dass

A)

P3P4 = 0,5 * P1P2

P5P6 = 0,5 * P3P4

P7P8 = 0,5 * P5P6

usw. gilt?

B)

Entsprechende Verhältnisse gelten auch für die (ebenfalls parallelen) Strecken

P2P3, P4P5, P6P7 usw.

Upps...
hatte ich vergessen zu erwähnen, dass die Strecken bei A) alle parallel sind?

C)
Kannst du nachvollziehen, dass die Summe der Längen der waagerechten Strecken
P1P3, P3P5, P5P7,... am Ende b ergibt?

Wenn du die Summe aller Umfänge bilden sollst, musst du die Summe aller Längen aus A), die Summe aller Längen aus B) und die Summe aller Längen aus C) bilden und diese drei Summen addieren.

Nochmal vom geometrischen Zaunpfahl: In jeder der drei Summen ist der nächste Summand die Hälfte des vorherigen...

Comments

Ist die klar, dass

A)

P3P4 = 0,5 * P1P2

P5P6 = 0,5 * P3P4

P7P8 = 0,5 * P5P6

usw. gilt?

Jamoin, aber vielleicht noch ein Tipp wie das bis zum unendlichsten Dreieck geht? Sind ja net nur 3 Dreiecke

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Ich kann deine Erklärung sehr gut nachvollziehen bei a), somit müsste ja auch

Umfang1 x 0.5 = Umfang2

Umfang2 x 0.5 = Umfang3 .... etc sein. Die Frage ist ja aber die Summe der Umfänge aller unendlichen grauen Dreiecke und ich glaube es ist nicht möglich diese Rechnung bis Unendlich lang durchzuführen das braucht ja eben "unendlich" lange.... Die Sache was ich mich hier Frage ist wie man das formulieren soll ?

Hoffe du antwortest mir auch wenn es so aussieht dass du mich ignorierst...

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Es geht hier um die Summe einer geometrischen Reihe.

Answer 2

Bei b): wenn ich a) hätte, habe ich ja die UMFÄNGE und nicht den FLÄCHENINHALT, wie soll man denn da auf die Fläche kommen??

Du berechnest natürlich hier auch noch die Summe aller Dreiecksflächen. Fünktioniert ja Ähnlich wie a) eigentlich noch einfacher. Dreiecksfläche ist ja mit 1/2 * Grundseite * Höhe wesentlich einfacher.

Bei c): Müsste ich da einfach knobeln? (wenn ich b) hätte würde ich es vielleicht verstehen)

Sicher musst du dazu erstmal b) haben. Also mach das mal zuerst.

Bei d) da habe ich garkeine ahnung was machen

Hier solltest du nicht die Unendliche Reihe bilden sondern die Partialsumme der ersten n Strecken.