Aloha :)
Da wir es hier mit einer Halbkugel zu tun haben, bieten sich zur Berechnung Kugelkoordinaten an:$$\vec r=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\theta\\\sin\varphi\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi[\quad;\quad\theta\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$Dabei wurde der Radius \(r=1\) bereits berücksichtigt. Der Vorteil von Kugelkoordinaten ist, dass wir uns nicht um die Vorzeichen irgendwelcher Wurzelterme kümmern müssen. Da wir die Oberfläche mittels \(\vec r\) abtasten wollen, können wir auch das Vektorfeld \(\vec F\) in Kugelkoordinaten formulieren:$$\vec F=\begin{pmatrix}0\\x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\cos\varphi\sin\theta\\\sin\varphi\sin\theta\end{pmatrix}$$
1) Wegintegral über den geschlossenen Weg
Der Weg ist der Einheitskreis in der \(xy\)-Ebene, d.h. \(\theta=\frac{\pi}{2}\) ist im Folgenden festgehalten.
$$I_1=\int\limits_{0}^{2\pi}\vec F\cdot\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{0}^{2\pi}\vec F\cdot\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{0}^{2\pi}\begin{pmatrix}0\\\cos\varphi\\\sin\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\,d\varphi$$$$\phantom{I_1}=\int\limits_0^{2\pi}\cos^2\varphi\,d\varphi=\left[\frac{\varphi}{2}+\frac{1}{4}\sin(2\varphi)\right]_0^{2\pi}=\pi$$
2) Oberflächenintegral über die Halbkugel
Das Flächenelement \(d\vec A\) müssen wir durch die Kugelkoordinaten ausdrücken:
$$d\vec A=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\theta}d\theta\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}d\varphi\right)=\begin{pmatrix}\cos\varphi\cos\theta\\\sin\varphi\cos\theta\\-\sin\theta\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-\sin\varphi\sin\theta\\\cos\varphi\sin\theta\\0\end{pmatrix}d\theta\,d\varphi$$$$\phantom{d\vec A}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin^2\theta\\\sin\varphi\sin^2\theta\\\sin^2\varphi\sin\theta\cos\theta+\cos^2\varphi\sin\theta\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\theta\\\sin\varphi\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta$$Das Vektorfeld müssen wir rotieren:
$$\operatorname{rot}\vec F=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-0\\0-0\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$So vorbereitet gehen wir ans Integral über die Halbkugel:
$$I_2=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\theta\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\varphi\sin\theta\\\sin\varphi\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}\sin\theta$$$$\phantom{I_2}=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\pi/2}d\theta\left(\cos\varphi\sin\theta+\cos\theta\right)\sin\theta$$$$\phantom{I_2}=\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\cos\varphi}_{=0}\int\limits_0^{\pi/2}d\theta\sin^2\theta+\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}d\varphi}_{=2\pi}\int\limits_0^{\pi/2}d\theta\sin\theta\cos\theta$$$$\phantom{I_2}=2\pi\cdot\left[\frac{1}{2}\sin^2(\theta)\right]_0^{\pi/2}=\pi$$
Wegen \(I_1=I_2\) haben wir den Satz von Stokes an diesem Beispiel bestätigen können.
