Extremalwertproblem Dose

Question

Ich komme bei der Aufgabe nicht klar

Die Firma Bach stellt zylindrische Dosen her. Um den MaterialverbrauchSo gering wie möglich zu halten soll eine Dose bei gegebener Oberfläche Ein möglichst großes Volumen fassen. Pro Dose stehen 300 Quadrat Zentimeter zur Verfügung.

Wie ist die Zielfunktion? Und wie kommt man darauf?(hauptbedingung usw.) Außerdem soll ich das maximale Volumen berechnen.

  

Answer 1

U = Umfang = 2 * r * PI
Boden= Deckel = r^2 * PI

O =  Boden + Deckel + U * h = 300
O = 2 * r^2 * PI + 2 * r *PI * h = 300
V = r^2 * PI * h

2 * r^2 * PI + 2 * r *PI * h = 300
h  = ( 300 - 2 * r^2 * PI ) / ( 2 * r * PI )

V = r^2 * pi * ( ( 300 - 2 * r^2 * PI ) / ( 2 * r * PI ) )
V = r / 2 * ( 300 - 2 * r^2 * PI )
V = r * ( 150 - r^2 * PI )
V = 150 * r - r^3 * PI
V ´( r ) = 150 - 3 * r^2 * PI
Extremum
150 - 3 * r^2 * PI = 0
r = 50/PI
r = 3.99 cm
h  = ( 300 - 2 * r^2 * PI ) / ( 2 * r * PI )
h = 7.98 cm

Comments

Vielen Dank ☺️

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Gern geschehen. Fülltext.

Answer 2

1) V=Ag*h=d²*pi/4*h ist die Hauptgleichung (Hauptbedingung)

2) O=2*Ag+Am=2*d²*pi/4+d*pi*h ist die Nebengleichung (Nebenbedingung)

aus 2) O=d²*pi/2+d*pi*h   h=(O-d²*pi/2)/(d*pi) in 1)

V(d)=d²*pi/4*1/(d*pi)*(O-d²*pi/2)=d/4*(O-d²*pi/2)

V(d)=O*d/4-d³*pi/8

V(d)=-pi/8*d³+O*d/4  nun eine Kurvendiskussion durchführen

V´(d)=-3/8*pi*d²+O/4  Nullstellen d²=O*2/(3*pi)

d1,2=+/-Wurzel(O*2/(3*pi))=+/- Wurzel(300cm²*2/(3*pi))=+/-7,9788..cm

d=7,979cm

h=(300cm²-(7,979cm)²*pi/2)/(7,979cm*pi)=7,979 cm

prüfen,ob eine Maximum oder Minimum vorliegt

V´´(d)=-6/8*pi*d <0  also ein Maximum

prüfe auf Rechen- und Tippfehler.