Hesse-Matrix berechnen aus Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Hesse-Matrix der Funktion $$ f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-3+2 x_{1}^{2}+3 x_{1} x_{2}+1 x_{2}^{3} $$ an der Stelle \( \left(x_{1}, x_{2}\right)=(1,2) . \) Welchen Wert hat der Eintrag links unten?

Ich hab als Hesse-Matrix:

\( \left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 0 \\ 0 & 6 y & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

Ich komme jedoch jetzt nicht weiter und bin mir auch nicht sicherm ob die Matrix richtig ist.

Answer 1

Hallo,

die Funktion hat nur 2 Parameter. Also kann das auch nur eine \(2\times2\)-Matrix sein. Auf der Nebendiagonalen stehen die Ableitungen einmal nach \(x_1\) und anschließend nach \(x_2\) und einmal umgkehrt:$$\begin{aligned} f(x_1,x_2) &=-3+2x_1^2+3x_1x_2+x_2^3 \\ \frac{\partial f}{\partial x_1} &= 4x_1 + 3x_2 \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1}  &= 4 \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} &= 3 \\ \frac{\partial f}{\partial x_2} &= 3x_1 + 3x_2^2 \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} &= 3 \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_2} &= 6x_2 \\ \implies H &= \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 6x_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$