Lipschitz Stetig x^4 in [0, 1]?

Question

:)

Ich bin am grübeln mit folgender Aufgabe:

Ist die Funktion f: [0,1] -> R mit f(x)=x^4 Lipschitz-Stetig? Begründe.

Also hab ich mal angefangen:

Seien x1,x2 aus D, so gilt |x1^4 - x2^4| =< L* |x1 - x2|

Nun müsste man die linke Seite so umformen, dass man am Ende auf eine Form ähnlich zur rechten Seite bekommt ( L finden). Dann wäre f L.-stetig. Leider habe ich keine Idee für diesem Schritt.. kannst du mir hier weiterhelfen?

!

Answer 1

Hallo,

\( x^4 \) ist auf dem Intervall \( [0, 1] \) beschränkt und nimmt ihr Minimum \( 0 \) bei \( 0 \) und ihr Maximum \( 1 \) bei \( 1 \) an.

Wir berechnen \( (x^4 - y^4) / (x - y) = x^3 + x^2 y + x y^2 + y^3 \). Auf \( [0, 1] \times [0, 1] \) nimmt die rechte Seite ihr Maximum bei \( (x, y) = (1, 1) \)  an.

Daraus folgern wir \( \left| \frac{x^4 - y^4}{x - y} \right| \leq 4 \) und erhalten mit \( L = 4 \) eine Lipschitz-Konstante.

Grüße

Mister

Comments

Vielen Dank! Wie sähe dies für das Intervall [0,2] aus? Genau so oder?

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hat sich erledigt :)