Aloha :)
Die Hesse-Matrix besteht aus den zweiten partiellen Ableitungen der Funktion \(f\):$$\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}(x)\\[0.5em] \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n}(x) \end{pmatrix}$$Zum Glück brauchst du nur das Element links oben anzugeben. Daher genügt es, \(f\) zwei Mal partiell nach \(x_1\) abzuleiten:
$$f(x_1,x_2)=20\ln(x_1)−40\ln(x_2)$$$$\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2)=\frac{20}{x_1}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}(x_1,x_2)=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{20}{x_1}\right)=-\frac{20}{x_1^2}$$Speziell an der Stelle \((1|-1)\) gilt: \(\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}(1,-1)=-20\).
