Hesse Matrix bestimmen, welchen Wert hat der Eintrag links oben?

Question

Bestimmen Sie die Hesse-Matrix der Funktion

f(x1,x2)=20⋅ln(x1)−40⋅ln(x2)
an der Stelle (x1,x2)=(1,−1). Welchen Wert hat der Eintrag links oben?

Könnte mir jemand helfen wieman eine Hesse Matrix aufstellt ?

Answer 1

Die Hessematrix besteht aus den Ableitungen Zweiter Ordnung

[- 20/x², 0; 0, 40/y²]

Wenn wir hier (1 ; -1) einsetzen erhalten wir

[-20, 0; 0, 40]

Der Eintrag links oben ist -20.

Natürlich ist es unsinnig auch die anderen Einträge der Hessematrix zu berechnen wenn eh nur das Feld links oben gefragt ist. Ich habe es der vollständigkeits halber auch gemacht.

Answer 2

Aloha :)

Die Hesse-Matrix besteht aus den zweiten partiellen Ableitungen der Funktion $f$:$$\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}(x)\\[0.5em] \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}(x)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}(x)&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2}(x)&\cdots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n}(x) \end{pmatrix}$$Zum Glück brauchst du nur das Element links oben anzugeben. Daher genügt es, $f$ zwei Mal partiell nach $x_1$ abzuleiten:

$$f(x_1,x_2)=20\ln(x_1)−40\ln(x_2)$$$$\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1,x_2)=\frac{20}{x_1}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}(x_1,x_2)=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{20}{x_1}\right)=-\frac{20}{x_1^2}$$Speziell an der Stelle $(1|-1)$ gilt: $\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}(1,-1)=-20$.