Aloha :)
Teil a) Die Integrationsintervalle können wir sofort hinschreiben:$$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\quad;\quad y\in\left[0;x^2\right]$$$$I_a=\int\limits_0^{\pi/2}dx\int\limits_0^{x^2}dy\, y^2x^{-6}=\int\limits_0^{\pi/2}dx\,x^{-6}\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^{x^2}=\int\limits_0^{\pi/2}dx\,x^{-6}\,\frac{x^6}{3}=\frac{1}{3}\int\limits_0^{\pi/2}dx=\frac{\pi}{6}$$~plot~ x^2*(0<=x)*(x<=pi/2) ; [[-0,2|2|-0,5|3]] ~plot~
Teil b) Die Integrationsintervalle ergeben sich aus der Fläche, die von \(y_1=x^2\) und \(y_2=2x+8\) eingeschlossen wird. Wir benötigen daher die gemeinsamen Schnittpunkte:$$x^2=y_1\stackrel{!}{=}y_2=2x+8\quad\Leftrightarrow\quad x^2-2x-8=0\quad\Leftrightarrow\quad(x+2)(x-4)=0$$Für das \(y\)-Integrationsintervall müssen wir noch wissen, ob die Parabel für \(x\in[-2|4]\) oberhalb oder unterhalb der Geraden verläuft. Wegen \(y_1(0)=0^2=0\) und \(y_2(0)=2\cdot0+8=8\) ist klar, dass die Parabel unterhalb der Geraden verläuft. Damit lauten die Integrationsintervalle:$$x\in\left[-2|4\right]\quad;\quad y\in\left[x^2|2x+8\right]$$$$I_b=\int\limits_{-2}^4dx\,x\int\limits_{x^2}^{2x+8}dy=\int\limits_{-2}^4dx\,x\left(2x+8-x^2\right)=\int\limits_{-2}^4\left(2x^2+8x-x^3\right)dx$$$$\phantom{I_b}=\left[\frac{2}{3}x^3+4x^2-\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^4=\frac{128}{3}-\frac{20}{3}=36$$
~plot~ 2x+8 ; x^2 ; [[-4|5|-1|20]] ~plot~
