Erwartungswert der von X abhängigen Funktionen

Question

Die Verteilungstabelld einer diskreten Verteilung laute:

x_i	-2	-1	1	2
ƒ(x_i)	1/8	3/8	1/4	1/4

(( a) Sollte man den Erwartungswert der Veteilung ausrechnen. E(X)=1/8 ))
b) Berechnen Sie den Erwartungswert der von X abhängingen Funktionen Z1= g1(X)=5X+2 und
Z2 = g2(X) = X2.
Ansatz:
Also es geht um die Aufgabe b)
Für E(Z1)=5*1/8+2= 21/8
Für E(Z2)= (1/8)2 = 1/64

Hab ich b richtig ausgerechnet? Laut Lösung kommt bei E(Z₂) 17/8 raus ansatz 1/64. Ich verstehe nicht wieso. Muss man nicht lediglich 1/8^2 nehmen? 

Vielen Dank im Voraus!!

Answer 1

Aloha :)$$E(X)=(-2)\cdot\frac{1}{8}+(-1)\cdot\frac{3}{8}+1\cdot\frac{1}{4}+2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$$Da der Erwarungswert linear ist gilt:$$E(Z_1)=E(5X+2)=5E(X)+2=\frac{5}{8}+2=\frac{21}{8}$$Die Erwartungswerte unabhängiger Eregnisse \(X\) und \(Y\) kannst du multiplizieren, \(E(XY)=E(X)\cdot E(Y)\). Der Erwartungswert von \(Z_2=X^2\) ist tückisch, weil das Ereigniss \(X\) nicht unabhängig von sich selbst ist. Einfaches Multiplizieren der Erwarungswerte klappt daher nicht. Du kannst aber die Variable \(X^2\) berechnen und dafür dann den Erwartungswert bestimmen:$$E(X^2)=(-2)^2\cdot\frac{1}{8}+(-1)^2\cdot\frac{3}{8}+1^2\cdot\frac{1}{4}+2^2\cdot\frac{1}{4}$$$$\phantom{E(X^2)}=4\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{3}{8}+1\cdot\frac{1}{4}+4\cdot\frac{1}{4}=\frac{17}{8}$$

Answer 2

Muss man nicht lediglich 1/82 nehmen?

Nein, musst du nicht (und darfst du nicht).

X² hat (wenn du deine  x_i quadrierst) die Werte 4, 1, 1 und 4.

Diese "vier" Werte treten mit der in deiner Tabelle angegebenen Wahrscheinlichkeit (1/8, 3/8, 1/4, 1/4) auf.

Das kannst du nun etwas zusammenfassen, der Wert 4 tritt am Anfang und am Ende mit einer Gesamtwahrscheinlichkeit von 1/8 + 1/4 = 3/8 auf, der Wert 1 mit 3/8 + 1/4 = 5/8.

Erwartungswert von X²: 4 * (3/8) + 1 * (5/8) = 17/8.