Berechnung der Stetigkeit mit Hilfe des ε-δ-Kriteriums

Question

a) Wir betrachten die Funktion f : R → R, definiert durch f(x):= x+1 / x^2+1

 1) i. Zeigen Sie mit Hilfe des ε-δ-Kriteriums, dass f in x0 = 1 stetig ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst für |x| ≤ 1 und für |x| > 1 seperat, dass (|x| / x^2+1) <= 1

2) Bestimmen Sie die Menge der Punkte, in denen f stetig ist. Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Ist die Funktion f : [0,1] → R, f (x) := x^4 Lipschitz-stetig? Begründen Sie Ihre Antwort.

c) Wir betrachten die Funktion f : R → R mit:

f(x)=     1, x∈Q,

           0, x∈Q,
Zeigen Sie, dass diese Funktion in jedem Punkt x0 ∈ R unstetig ist.

Komme bei den Aufgaben gar nicht weiter trotz Script. Würde mich über Lösungen freuen und einer Erklärung damit ich das Theme besser verstehen kann.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Epsilon-Delta-Kriterium Beispielaufgabe

Stichworte: stetigkeit,delta,epsilon,kriterium,funktion

Schönen Nachmittag zusammen :)

Betrachten wir hier mal die Funktion f: R->R, definiert durch f(x)= \( \frac{x+1}{x^2 + 1} \).

Nun möchte ich mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums zeigen, dass f in x₀ = 1 STETIG ist.

Als Hinweis wird genannt, ich soll \( \frac{|x|}{x^2 + 1} \) für |x| =< 1 und für |x| > 1 separat zeigen.

Zudem soll die Menge der Punkte bestimmt werden, in denen f stetig ist (Begründen).

Kann mir hier jemand helfen?

Vielen Dank!! Und Freundliche Grüße

Answer 1

Ein Anfang wäre  (|x| / x2+1) ≤ 1 zu zeigen.

Wegen x^2 = |x|^2 gilt

          (|x| / x^2+1) ≤ 1

<=>  (|x| / |x|^2+1) ≤ 1   | *Nenner, der ist positiv !

<=>  |x| ≤  |x|^2+1   |   - |x|

<=>  0 ≤ |x|^2 - |x| +1   | quadratische Ergänzung

<=>  0 ≤ |x|^2 - |x| +1/4  -  1/4   +1

<=>  0 ≤ ( |x|- 1/2 ) ^2  +3/4

und weil Quadrate nie negativ sind, ist das immer wahr.

Bei 2c) muss es sicher einmal ∉ heißen !