Konvergenz von integral 1/(x^s+x^(1/s))dx

Question

Wie zeigt man ob das folgende Integral für \( s \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) konvergiert:

$$ \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{s}+x^{1 / s}} d x $$

Mit freundlichen Grüßen

Comments

Kennst du Bernoulli-Polynome? Man kann das mit ein paar feinen Tricks sogar in geschlossener Form angeben.

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Hi,

Nein, Wie kann ich das machen?

Answer 1

Hallo,

zerlege in

$$\int \limits_{0}^{a} \frac{1}{x^{s}+x^{1 / s}} d x+\int \limits_{a}^{\infty} \frac{1}{x^{s}+x^{1 / s}} d x$$

und untersuche per Fallunterscheidung für s, wann beide Integrale gleichzeitig konvergieren.

Tipp: es reichen die Fälle

s=-1

-1<s<0

0<s<1

s=1