Abkürzen bei Brüche in einer Ungleichung möglich?

Question

Hallo, ich habe folgende Ungleichung zu lösen : (x²-4x+3)/(x²-5x+6)>0

Zähler und Nenner faktorisieren mit Bestimmung der Nullstellen :

(x-3)(x-1)/(x-3)(x-2)>0

Die Frage ist: Darf ich eigentlich x-3 abkürzen oder geht das nicht und verliere irgendwie eine Polstelle?

Ich habe einfach zu der Form  : (x-1)/(x-2)>0 gebracht und dann einfach gesagt ok : x muss ungleich 2 sein und die ganze Ungleichung gilt nur dann, falls Nenner und Zähler gleichzeitig entweder negativ oder positiv sind, das heißt meine Lösungsmenge würde so aussehen : ]-oo,1[ U ]2,oo[

Wäre richtig oder abkürzen darf man gar nicht ?

Answer 1

Aloha :)

Vor dem Kürzen hat die Funktion bei \(x=3\) einfach eine Lücke, aber keine Sprungstelle. Die Lücke kann stetig behoben werden. Genau das tust du, wenn du aus dem Zähler und aus dem Nenner den Faktor \((x-3)\) kürzt.

~plot~ (x-1)/(x-2) ; [[-4|10|-4|4]] ~plot~

Comments

Das heißt doch, dass meine Lösungsmenge als Antwort richtig ist, oder? Aber vielen lieben Dank, so gut erklärt habe ich es noch nie von keinem Tutor an meiner Uni bekommen:)

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Ja, deine Antwort ist richtig. Ich habe dir extra noch den Graphen dargestellt, damit wir auch wirklich sicher sein können, dass uns nichts durchgegangen ist ;)

Answer 2

Abkürzen bei Brüche in einer Ungleichung möglich ?
In der Überschrift muß es richtig heißen
Kürzen bei Brüchen in einer Ungleichung möglich ?

(x-3)(x-1)/(x-3)(x-2)>0

Divisionen durch null sind erlaubt.
Der Def-Bereich muß eingeschränkt werden
D = ℝ \ { 3; 2 }

Das Kürzen bei Brüchen ist bei Gleichungen und Ungleichungen möglich.