Question

Seien a, b und c drei verschiedene reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass die Vektoren linear unabhängig sind.

u=(1,1,1)

v=(a,b,c)

w=(a²,b²,c²)

Meine Idee wäre die Regel von Sarrus, so dass ich dann dastehen hätte:

=1*b*c²+a*b²*1+a²*1*c-a²*b*1-a*1*c²-1*b²*c

=bc²+ab²+ca²-ba²-ac²-cb²

Kann ich es jetzt einfach so beweisen, dass ich bc²+ab²+ca²-ba²-ac²-cb² ungleich 0 schreibe?

Answer 1

Hallo,

man kann faktorisieren:

det(u,v,w)=-(a-b)(a-c)(b-c)

Das ist niemals 0, da die drei Zahlen a,b,c verschieden sind.

Answer 2

Die Vektoren \( \vec{d} \), \( \vec{e} \), \( \vec{f} \) sind linear abhängig, wenn es r,s,t≠0 gibt,      sodass r\( \vec{d} \)+ s\( \vec{e} \)+ t\( \vec{f} \)=\( \vec{0} \). Annahme: die Vektoren sind linear abhängig. Dann wäre

r+sa+ta²=0

r+sb+tb²=0

subtrahieren:

s(a-b)+t(a²-b²)=0

dritte binomische Formel und ausklammen von (a-b):

(a-b)[s+t(a+b)]=0.

Dann wäre a-b=0  oder a=b.

Widerspruch zu a≠b.