Sup und Inf folgender Menge sind zu bestimmen (mit Beweis).

Question

an alle. Es ist das Supremum und das Infimum der folgenden Menge zu bestimmen:

M = {abc | a > 0, b > 0 und c > 0 und die Summe muss 1 sein, also a + b + c = 1.

Vom Ansatz her ist mir klar, dass das Infimum 0 ist und ein Minimum nicht existiert. Das Supremum ist meiner Meinung nach 1/27, wenn a = b = c müsste ich das Maximum erwischen. Aber wie weist man das nach?

Ein Hinweis = Stups in die richtige Richtung wäre echt nett. Ich schreibe schon einmal "Danke".

Comments

$$ \sqrt[3]{xyz} \le \frac{x+y+z}{3} $$

 Das ist die Ungleichung vom geometrischem und arithmetischen Mittel.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel

Wenn du die noch nicht kennst, kannst du auch explizit nachrechnen, dass

$$ xyz \le \left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3 $$

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Supi, danke! Das hilft.