Gegeben ist die Ebene E: 2x+3y+6z=12 und der Punkt P(5,5/4/4)

Question

b) berechnen Sie den Abstand von E zu P mithilfe des Lotfußpunktverfahrens. Bestätigen sie ihr ergebnis unter Verwendung der Hesseschen Normalform.

c) Erläutern Sie anhand einer Skizze wie man zu der in Teilaufgabe b) benutzten Abstandsformel kommt.

Hallo,

ich hab b) bereits alleine lösen können nur wüsste ich nicht wie ich die Hessesche Normalform mittels einer SKizze erläutern kann.

Answer 1

Abstand zweier Parallelebenen (die die Grund- und die Deckfläche eines Spats enthalten): Volumen des Spats geteilt durch Grundfläche des Spats.

Answer 2

Da nehmen wir den Normalenvektor n:=(2,3,6)^T der Ebene und hängen ihn an den Punkt an, um von P das Lot auf die Ebene zu fällen.

g(t):=P+ t n

Einsetzen für Schnitpunkt/Lotpunkt

E: n (x,y,z)-12=0

P_Lot : (2,3,6) g(t) -12=0 ===> t = -5/7

P_Lot:=g(-5/7)

Abstand d= sqrt((P-PLot)^2)

Answer 3

1) zeichne ein räumliches Bild,mit

1.1 Ebene

1.2 Punkt A  liegt auf der Ebene

1.3 Punkt F liegt auf der Ebene (Fußpunkt,Schnittpunkt der Senkrechten d von Punkt P auf die Ebene)

1.4 Punkt P liegt über der Ebene senkrecht über den Fußpunkt F

1.5 Ursprung O  liegt unterhalb der Ebene

Vektoren:

2.1 Vektor a  geht von O nach Punkt A,der auf der Ebene liegt

2.2 Vektor p geht von O nach Punkt P,der über der Ebene liegt

2.3 Vekor no  Narmalenvektor,der senkrecht auf Punkt A steht

2.3 Strecke d,die senkrecht auf den Punkt F (Fußpunkt,liegt auf der Ebene) steht und nach Punkt P geht

Aus der Zeichnung ergibt sich

(p-a)*no=AP*no=(AF+FP)*no  kleine Pfeile über p,a,no,(AF) und (FP) zeichnen

AF Strecke von Punkt A nach F

FP Strecke von Punkt F nach P

...=AF-no+FP*no=|AF|*|no|*cos(90°)+|FP|*|no|*cos(0°)=|FD|=d

Liegt der Punkt P(px/py/pz) unterhalb der Ebene,dann ergibt sich:

(p-a)*no=-d

Formel dann: d=(p-a)*no

mit no(nox/noy/noz)=nx/|n|+ny/|n|+nz/|n|

Betrag |n|=Wurzel(nx²+ny²+nz²)

n(nx/ny/nz)