Rechtsseitiger Grenzwert für x->0 von f(x)=x*ln(x)^3 mit Regel von LHospital - Rechnung korrekt?

Question

Hallo,

ich muss u.a. von folgender Funktion den Grenzwert mit Hilfe der Regel von L'Hospital zu lösen:

$$ \lim\limits_{x\downarrow 0}(x*ln(x)^3) $$

Ich hätte also den Ausdruck "0 * Minus unendlich".

Umgeformt in die Form g(x)/h(x), jeweils abgeleitet und die Doppelbrüche entfernt erhalte ich

$$ \lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{3x^2(ln(x)^2)}{-x}  = \lim\limits_{x\downarrow 0}\frac{-3x(ln(x)^2)}{1} = 0 $$

was "-0/1" enstpricht und mir als rechtsseitigen Grenzwert 0 liefert.

Ist das soweit korrekt?

Falls sich ein Fehler eingeschlichen hat, wäre ich für kleine Denkanstöße an der richtigen Stelle dankbarer als für komplette Lösungen, da mir das in Hinblick auf die Prüfung mehr bringt.

Beste Grüße

Comments

was "-0/1" enstpricht

mit dem gleichen "Prioritätsargument" kann man doch auch den Ausgangsgrenzwert (richtig) mit 0 angeben.

Answer 1

Aloha :)

Um L'Hospital anwenden zu können, müssen Zahler und Nenner beide unabhängig voneinander gegen 0 oder gegen \(\pm\infty\) gehen. Den hier vorliegenden Fall \(0\cdot\infty\) musst du daher erst entsprechend umformen. Im Folgenden soll \(\mapsto\) immer die Anwendung von L'Hospital bedeuten (das spart mir das Aufschreiben vom Limes).

$$x\ln^3(x)=\frac{\ln^3(x)}{\frac{1}{x}}\mapsto\frac{3\ln^2(x)\cdot\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\frac{3\ln^2(x)}{-\frac{1}{x}}\mapsto\frac{6\ln(x)\cdot\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}}=\frac{6\ln(x)}{\frac{1}{x}}$$$$\phantom{x\ln^3(x)}\mapsto\frac{6\cdot\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\frac{6}{-\frac{1}{x}}=-6x\;\stackrel{(x\to0)}\to\;0$$

~plot~ x*(ln(x)^3) ; [[-0,5|2|-2|0,5]] ~plot~

Answer 2

Dein erster Schritt über L_Hospital ist richtig. Du kommst dabei auf

lim (x → 0) (-3·x·LN(x)^2)

Leider darfst du hier immer noch nicht direkt den Grenzwert bestimmen, weil x * LN(x)^2 erneut ein unbestimmter Ausdruck ist. Du musst also erneut L'Hospital andenden. Und zwar solange bis du den Grenzwert bestimmen kannst.

lim (x → 0) x·LN(x)^3

lim (x → 0) LN(x)^3 / (1/x)

L'Hospital

lim (x → 0) (3·LN(x)^2/x) / (- 1/x^2)

lim (x → 0) (3·LN(x)^2) / (- 1/x)

L'Hospital

lim (x → 0) (6·LN(x)/x) / (1/x^2)

lim (x → 0) (6·LN(x)) / (1/x)

L'Hospital

lim (x → 0) (6/x) / (- 1/x^2)

lim (x → 0) (6) / (- 1/x)

lim (x → 0) -6·x = 0

Comments

Hallo Mathecoach

bezog sich das "Das hast du richtig gemacht." auf den Fragenden, dann ist es schlimm, denn zwar ist sein GW richtig, aber die Rechnung schlimm falsch, falls es sch auf Tschakabumba bezog ist es herablassend!

für den Fragenden: auf deinen mit x erweiterten Ausdruck kann man L'Hopital nicht anwenden, da x^2*lnx ja nicht gesichert 0 ist. im nächsten Schritt ist dann auch noch die Ableitung des Zählers falsch.(Produktregel vergessen=)

Gruß lul

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bezog sich das "Das hast du richtig gemacht." auf den Fragenden, dann ist es schlimm, denn zwar ist sein GW richtig,

Ich wollte das eigentlich später noch korrigieren habe es dann aber vergessen.

den ersten Schritt mit L'Hospital hat der Fragesteller tadellos gemacht.

Dummerweise darf er dann aber noch nicht den Grenzwert bilden sondern muss weil er erneut einen unbestimmten ausdruck hat erneut L'Hospital anwenden. Und zwar so lange bis er den Grenzwert bestimmen kann.

Ich habe das oben mal verbessert.

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Hallo lul

für den Fragenden: auf deinen mit x erweiterten Ausdruck kann man L'Hopital nicht anwenden,

Was du als den "mit x erweiterten Ausdruck" bezeichnest, hat sich für ihn (richtig!) ergeben, nachdem er - wie von ihm beschrieben - den gegebenen Ausdruck zu  \(\dfrac{ln(x)^3}{1/x}\) umgeschrieben und dann Hospital angewendet hat:

 \(\dfrac{3·ln(x)^2·1/x}{-1/x^2}=\dfrac{3·x^2·ln(x)^2}{-x}\)

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Hallo

 sorry, ich hatte das hoch 3 bei ln übersehen, trotzdem hätte man den Fehler berichtigen müssen

Gruß lul