In welche Richtung schaut das Auge um das Objekt im Spiegel zu sehen?

Question

Im Punkt A =\( \begin{pmatrix} -3\\-3\\5 \end{pmatrix} \)  befinde sich ein Auge und schaut auf einen
(unendlich großen) Spiegel mit der Gleichung x = 0. Ein Objekt ist im Punkt O = \( \begin{pmatrix} -3\\3\\-1 \end{pmatrix} \).

(a) In welche Richtung schaut das Auge um das Objekt im Spiegel zu sehen? 
(b) In welchem Punkt P auf dem Spiegel sieht man das Objekt?
(c) Wie groß ist der Winkel OPA?

Answer 1

Aloha :)

Auge des Beobachters bei \(A(-3|-3|5)\), Objekt bei \(O(-3|3|-1)\), Spiegel-Ebene \(x=0\).

1) Wir tun so als wäre der Spiegel nicht da und wir würden das Objekt hinter dem Spiegel sehen. Da die Spiegelebene \(x=0\) ist, finden wir den Punkt \(O\,'\) hinter dem Spiegel durch Invertierung der \(x\)-Koordinate, das heißt \(O\,'(3|3|-1)\). Die Richtung, in die der Beobachter schaut, ist damit:$$\overrightarrow{AO\,'}=\begin{pmatrix}3\\3\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\6\\-6\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad\vec v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

2) Das Auge schaut entlang der Geraden$$g:\,\vec x=\begin{pmatrix}-3\\-3\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$Für \(s=3\) ist \(x_1=0\) und die Gerade trifft die Spiegelebene im Punkt \(P(0|0|2)\).

3) Wegen "Einfallswinkel = Ausfallswinkel" können wir den Winkel zwischen dem Richtungsvektor \(\vec v\) der Geraden und der Normalen der Spiegelebene \(\vec n=(1|0|0)^T\) bestimmen und verdoppeln:$$\varphi=2\arccos\left(\frac{-\vec v\cdot\vec n}{\|\vec v\|\cdot\|\vec n\|}\right)=2\arccos\left(\frac{-1}{\sqrt3}\right)\approx109,47^o$$

Answer 2

a) In welche Richtung schaut das Auge um das Objekt im Spiegel zu sehen?

[3, 3, -1] - [-3, -3, 5] = [6, 6, -6] = 6·[1, 1, -1]

b) In welchem Punkt P auf dem Spiegel sieht man das Objekt?

[-3, -3, 5] + 3·[1, 1, -1] = [0, 0, 2]

c) Wie groß ist der Winkel OPA?

[1, 1, -1] * [1, 0, 0]

2·ARCCOS([1, 1, -1]·[1, 0, 0]/(ABS([1, 1, -1])·ABS([1, 0, 0]))) = 109.5°