Wie ermittelt man die Ableitung der Funktion (mit ln)?

Question

y= ln ((x-a)/(x+a))

Die Lösung lautet (2a)/(x^2 - a^2)

Aber ich komme einfach nicht darauf. Habe es auch schon mit der Quotientenregel versucht

Answer 1

Benutze den Ableitungsrechner https://www.ableitungsrechner.net/

Dort kannst du das recht gut nachvollziehen.

Ich kümmere mich hier nur mal um die Innere Ableitung mittels Quotientenregel.

y = (x - a) / (x + a)

Ableiten über Quotientenregel

y' = ((1)·(x + a) - (x - a)·1) / (x + a)^2

y' = (x + a - x + a) / (x + a)^2

y' = (2·a) / (x + a)^2

Kannst du das so nachvollziehen?

Comments

Auf die Lösung der Quotientenregel bin ich auch gekommen, aber leider wusste ich dann nicht, wie man auf die Lösung kommt, die im Buch steht. Ich versuch aber mal die Lösung des Ableitungsrechners nachzuvollziehen...

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Wenn du das direkt auf der Seite des Ableitungsrechners machst dann markiert er dir farblich die Schritte.

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oh okay, dann probier ich es mal aus!

Answer 2

Aloha :)

Die Lösung vom automatischen Ableitungsrechner ist miserabel, das tut mir einfach weh:$$y'=\left(\ln\left(\frac{x-a}{x+a}\right)\right)'=\left(\ln(x-a)-\ln(x+a)\right)'=\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}$$$$\phantom{y'}=\frac{(x+a)-(x-a)}{x^2-a^2}=\frac{2a}{x^2-a^2}$$

Comments

Die Lösung ist durchaus sinnvoll, wenn auch nicht optimal.

Der Ableitungsrechner leitet nach der Ketten- und Quotientenregel ab.

Speziell bei Logarithmen kann man diese teilen und hat es dann leichter.

Nun habe ich ein Programm, welches genau das immer bei Brüchen und Logarithmen macht, sie nämlich zerlegen. Bei vielen Differentialgleichungen musst Du aber anschließend die exp-Funktion verwenden, oder bei Intgralen werden Faktoren gekürzt, was dann das Scheiss-Programm nicht mehr kann, weil es den auseinandergerissennen ln nun nicht mehr mit dem exp kürzen kann, oder bei auseinandergerissenen und dann teilgekürzten Brüchen keinen (sinnvollen bzw. richtigen) Hauptnenner mehr findet.