Aloha :)$$U_1:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\-\sum\limits_{k=0}^{n-1}x_k\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\\vdots\\0\\-1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\\vdots\\0\\-1\end{array}\right)+x_{n-1}\left(\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\1\\-1\end{array}\right)$$Wir zählen \(n-1\) linear unabhängige Basisvektoren\(\quad\Rightarrow\quad\dim(U_1)=n-1\)
$$U_2:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_1\\\vdots\\x_1\\x_1\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}1\\1\\\vdots\\1\\1\end{array}\right)$$Wir zählen \(1\) Basisvektor\(\quad\Rightarrow\quad\dim(U_2)=1\)
Führe nun beide Basen zusammen und subtrahiere von dem \(U_2\)-Basisvektor jeden \(U_1\)-Basisvektor, dann resultiert der fehlende Basisvektor zum \(\mathbb{R^n}\), um die \(n\)-te Komponente unabhängig von allen anderen zu ändern:$$(0,0,\cdots,0,1-(n-1)\cdot(-1))^T=(0,0,\cdots,0,1+(n-1))^T=(0,0,\cdots,0,n)^T$$