U1 und U2 sind Unterräume und bestimmen von dim(U1) und dim(U2)

Question

\( U_{1}:=\left\{\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n}: \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=0\right\} \)
\( U_{2}:=\left\{\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{n}: x_{1}=\cdots=x_{n}\right\} \)

Es soll gezeigt werden, dass U1 und U2 Unterräume des R^n sind und das R^2= U1⊕U2 gilt. Bestimmt werden soll auch dim(U1) und dim(U2).

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?! !

Comments

https://www.mathelounge.de/723458/zeige-das-fur-u1-und-u2-gilt-u1u2-rn 

---

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass R^n=U1+U2 ist.

Stichworte: untervektorraum

Zeigen Sie dass R^n=U1+U2 gilt. Bestimmen Sie auch dim(U1) und dim(U2).

Ich weiß leider nicht wie man das löst.

$$U1:=\begin{pmatrix} x1\\...\\xn \end{pmatrix}\in R^n:\sum \limits_{i=1}^{n}xi=0$$

$$U2:=\begin{pmatrix} x1\\...\\xn \end{pmatrix}\in R^n:x1=...=xn$$

---

Einen Teil der Aufgabe findet man hier: https://www.mathelounge.de/547078/zeigen-sie-dass-u1-und-u2-unterraume-des-r-n-sind .

Answer 1

Die Vektoren

        \(\begin{pmatrix}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\\ -1 \end{pmatrix},\dots,\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}\)

sind eine Basis von U₁.

Der Vektor

        \(\begin{pmatrix}1\\ 1\\ \vdots\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\)

ist eine Basis von U₂.

Answer 2

Aloha :)$$U_1:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\-\sum\limits_{k=0}^{n-1}x_k\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\\vdots\\0\\-1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\\vdots\\0\\-1\end{array}\right)+x_{n-1}\left(\begin{array}{c}0\\0\\\vdots\\1\\-1\end{array}\right)$$Wir zählen \(n-1\) linear unabhängige Basisvektoren\(\quad\Rightarrow\quad\dim(U_1)=n-1\)

$$U_2:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_1\\\vdots\\x_1\\x_1\end{array}\right)=x_1\left(\begin{array}{c}1\\1\\\vdots\\1\\1\end{array}\right)$$Wir zählen \(1\) Basisvektor\(\quad\Rightarrow\quad\dim(U_2)=1\)

Führe nun beide Basen zusammen und subtrahiere von dem \(U_2\)-Basisvektor jeden \(U_1\)-Basisvektor, dann resultiert der fehlende Basisvektor zum \(\mathbb{R^n}\), um die \(n\)-te Komponente unabhängig von allen anderen zu ändern:$$(0,0,\cdots,0,1-(n-1)\cdot(-1))^T=(0,0,\cdots,0,1+(n-1))^T=(0,0,\cdots,0,n)^T$$