Parameterdarstellung der Geraden g durch Punkt A

Question

Ich muss die Parameterdarstellung der Geraden g durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor v→ angeben und die gerade in ein Koordinatensystem einzeichnen.

A (4/2/3), v= (-2/3/-4)

Außerdem muss ich den Punkt auf g, dessen x₃-Koordinate null beträgt, bestimmen. Und ich muss sagen, welche geometrische Bedeutung dieser Punkt hat.

Ich bin echt nicht gut in Mathe und würde mich über Hilfe sehr freuen :)

Answer 1

Gerade aufstellen

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4\\2\\3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix}\\$$

Spurpunkt mit der x-y-Ebene bestimmen

$$\begin{pmatrix} 4\\2\\3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\0 \end{pmatrix}\\$$

$$3 - 4 \cdot r = 0 \rightarrow r = 0.75\\$$

Jetzt r einsetzen und den Spurpunkt berechnen

$$\begin{pmatrix} 4\\2\\3 \end{pmatrix} + 0.75 \cdot \begin{pmatrix} -2\\3\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.5\\4.25\\0 \end{pmatrix}$$

Skizze

Comments

3 - 4 • r = 0 -> r = 0,75

Wie kommt man darauf?

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Weißt du nicht wie du

3 - 4 • r = 0

ausrechnest oder wie du die Gleichung aus der z-Koordinate der Gleichung abliest?

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Ich weiß nicht wie man darauf kommt. Also eine Gleichung auflösen kann ich, aber nicht wie man aus den aufgaben davor auf

3 - 4 • r = 0 -> r = 0,75

Kommt

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Schau dir doch nur mal genau die z-Komponente der Vektoren an.

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Ja aber dazwischen ist doch noch ein ,,+r". Also müsste das doch eigentlich so heißen:

3 + r • (-4) = 0

Und selbst wenn man

3 - 4 • r = 0 -> r = 0,75

Nach r auflöst, komme ich auf 4/3 ( 1, 333)

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Dann nimm mal ein Tool wie Photomath, welches beim Lösen von Gleichungen helfen kann.

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Ouh danke letzte Frage, welche werte muss man dann für das einzeichnen nehmen?

Answer 2

Die Gerade hat die Gleichung: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\2\\3 \end{pmatrix} \) +λ·\( \begin{pmatrix} -2\\3\\4 \end{pmatrix} \) .

Das Einzeichnen mit Hilfe der Spurpunkte (siehe Antwort auf deine zuvor gestellte Frage).

Answer 3

Gerade im Raum g: x=a+r*m

bei dir x=(4/2/3)+r*(-2/3/-4)

mit der x3-Achse ist im Normalfall die z-Achse eines x-y-z-Koordinatensystems gemeint.

Das ist ein Rechtssystem,wobei die x-Achse auf kleinsten Weg zur y-Achse gedreht wird.

siehe Mathe-Fomelbuch Koordinatensystem

z=x3=0

z-Richtung 0=3+r*(-4)  → r=3/4

mit z=0  Ist dies der Spurpunkt Sxy   Dieser Punkt liegt auf der x-y-Ebene (alle Punkte auf dieser Ebene haben die Koordinte z=0

x-Richtung: x=4+3/4*(-2)=4-6/4=16/4-6/4=10/4=2 2/4

y-Richtung: y=2+3/4*3=2+9/4=8/4+9/4=17/4=4 1/4

Spurpunkt Sxy((2 2/4)/(4 1/4)/0)