Streckenzug von Schenkel zu Schenkel

Question

Gegeben sei ein Winkel α<90° mit dem Scheitel A₀ und den Schenkeln g und h. Der Streckenzug A₀A₁A₂…A_n sei rekursiv folgendermaßen gegeben: Der Kreis um A₀ mit dem Radius r schneidet g in A₁. Der Kreis um A₁ mit dem Radius r schneidet h in A₂. Und allgemein: Der Kreis um A_i mit dem Radius r schneidet den Schenkel, auf dem A_i nicht liegt in A_i+1. Der Streckenzug endet, wenn A_i=A_j gilt.
Für welche Wahl von α ist A₂=A₄? Für welche Wahl von α ist A₇=A₀?

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Vom Duplikat:

Titel: Siebeneck mit beweglichen Ecken

Stichworte: winkel

Sieben gleichlange Stäbe hängen mit beweglichen Ecken so aneinander:

Wie groß ist ein Winkel a, auf dessen Schenkeln die 7 Ecken so positioniert werden können?

Answer 1

Lieber Roland, lieber Lu, vielen Dank für eure Mühen.

Ich versuche den Zusammenhang nochmal zu erklären.

Von Roland wurde an dieser Stelle die Frage gestellt, wie groß ein Winkel sein muss damit ein Streckenzug mit 7 gleichlangen Strecken dazwischen eingefügt werden kann. Als Ergebnis kam α= 180° / 7 heraus, was aber noch nicht bewiesen wurde. Nun denke ich, dass bei diesem Winkel n= 7 auch die größte Anzahl der Strecken ist die sich nicht überlappen. Zu meinem Bedauern sind es bei α = 180° / 8 aber nur 4 Strecken was hier gezeigt wurde. Wenn aber die Bedingung gestrichen würde, dass der Streckenzug beim Scheitelpunkt beginnt, dann könnten auch hier mehr Strecken untergebracht werden. Mit meiner Frage wollte ich das Pferd, zugegeben ein wackeliges Pferd, nur von der anderen Seite aufzäunen.

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@Lu: Meine beiden Fragen haben nichts miteinander zu tun.

@Hogar: Ich verstehe nicht, worauf du hinaus willst. Welche Frage hast du gestellt?

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Hallo Roland, ich bin noch nicht so gut mit den Funktionen, ich hoffe, dass der link zu:

Aus wieviel strecken n = f(Alpha) besteht der Streckenzug maximal

https://www.mathelounge.de/747001/aus-wieviel-strecken-alpha-besteht-der-streckenzug-maximal

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Hallo Roland, die Lösung meiner Frage:

n= 2* Ganzzahl ( 90 / α - 0,5) +1

führt zu den hier erwähnten Beziehungen für den Fall, dass n eine ungerade Zahl ist.

Also die Winkel 60°, 36°, 180°/7, 20° ...

führen zu n =  3, 5, 7, 9...

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Meinst du solche Streckenzüge?

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Nein, für n = 7 ist der Streckenzug so wie du gezeigt hast.

Text erkannt:

\( A \)

α sei der Winkel im Scheitelpunkt dann gilt:

Für alle α<180 kann man eine Strecke einreichen.

Wie wir sehen, ist das große Dreieck ein ggleichseitiges. Dann gilt: α +2β=180°

Wenn nun β ≥ α , dann können wir 2 weitere Strecken einzeichnen.

2 weitere, wenn β≥ 2α, plus 2 bei β ≥ 3α

Da hier β = 3α ergibt das also 3*2+1=7 Strecken.

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Entschuldigt bitte die Schreibfehler.

Wenn im Bild der Scheitelpunkt abgedeckt wird, dann könnte es das Bild für α = 25° sein, auch da gibt es 7 Strecken, die sich aber nicht im Scheitelpunkt treffen.

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Wurde nun alles zusammengefügt? Ich hoffe, dass ich die Fragestellungen zumindest teilweise voneinander trenenn konnte und die Frage von Hogar nun (falls nötig) unter der "Antwort" von Hogar "fertig" diskutiert werden kann.

Answer 2

Frage existiert schon  :  Für welche Wahl von α ist A_{7}=A_{0}?   in  https://www.mathelounge.de/726360/streckenzug-von-schenkel-zu-schenkel

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Gut erkannt. Daran erkenne ich, dass du dich mit der Aufgabe auseinandergesetzt hast. Die Lösung hast du doch sicher auch gefunden. Aber - wie ich dich kenne - verrätst du sie nicht.

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90  ;  60  ;  45  ;  36  ;  30  ;  ?  ;  22,5  ;  20  ;  ...

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Es war nach einem einzigen Winkel gefragt. Aber von dir hatte ich nichts anderes als eine kryptische Antwort erwartet.

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3 Eck α=180 /3

5 Eck 180 / 5

7 Eck 180 / 7

(2n+1) Eck 180 /( 2n + 1)

Beweise jeweils über Spiegelung und Außenwinkel, der Außenwinkel erhöht sich immer um 1. bis es nicht mehr geht,

Es kann nur  ein 2n +1 Eck sein, da die Lösung spiegelsymmetrisch zur Winkelhalbierenden sein muss. Also n Knickpunkte auf jedem Schenkel plus dem Scheitelpunkt, ergibt 2n + 1 Knickpunkte.

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Es kann nur ein 2n +1 Eck sein

Das ist falsch, siehe meine oben angegebene Folge von Winkeln.

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Gut, ich starte neu

A₃ = A₀  α = 60°

A₃ = A₁  α ≤ 45° kein Kreisschluss

A₅ = A₀  α = 36°

A₄ = A₂  α ≤ 30° kein Kreisschluss

A₇ = A₀  α = 180°/7

A₅ = A₃  α ≤ 22,5° kein Kreisschluss

einen Kreisschluss gibt es nur

bei 2n + 1 Stäben.

, doch deine Folge ist auch nicht ganz richtig, denn 90° war ausgeschlossen.

doch

A₂ = A₁ α < 90°

ohne die Begrenzung hätte α auch 90° oder größer sein können. Mit der Regel, dass man nur zurück gehen kann, wenn es nicht anders geht, hätte ich die ≤ durch = ersetzen  müssen.

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die 7 Ecken so positioniert werden können

ist vielleicht zu ungenau formuliert.

Für n = 8  ergibt sich jedenfalls mit α =  180° / 8 = 22,5°  folgende Lösung,

Text erkannt:

N

bei der wegen des rechten Winkels bei A_3 zwingend A_5 = A_3  sein muss.

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Die Formulierung war:"Der Kreis um Ai mit dem Radius r schneidet den Schenkel, auf dem Ai nicht liegt in Ai+1. Der Streckenzug endet, wenn Ai=Aj gilt."
Bei A1 bis A4 hat der Kreis die Schenkel geschnitten. Aber bei A5 tangiert er nur den Schenkel, wenn ich also von A4 zu A3 zurückgehen will, um diesen Punkt A5 zu nennen, dann muss gelten:α < 90°/4 = 22,5°

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@Roland: Wie hängt https://www.mathelounge.de/746584/streckenzug-mit-strecke-vergleichen?state=comment-746608&show=746608#c746608 oder https://www.mathelounge.de/726360/streckenzug-von-schenkel-zu-schenkel mit dieser Frage zusammen?

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@Lu. Ich verstehe deine Frage nicht.

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Hogar bezieht sich in der neuen Frage (gestern) irgendwie auf diese Frage, die du im Mai gestellt hattest. Du hattest das Thema in der Überschrift vor 2 Tagen wieder aufgenommen. Dachte, dass du die Frage von Hogar verstehst und beantworten kannst.

Answer 3

$$?\, = \frac{180}7$$.. jetzt muss man bloß noch beweisen, dass das stimmt ;-)

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Hallo Werner, das ist endlich mal eine Antwort, mit der man etwas anfangen kann. Der Beweis ist nicht schwer, aber bisher von niemandem in diesem Forum erbracht worden. Das ist erstaunlich, weil viel schwierigere Fragen beantwortet werden.