Hallo,
wir zeigen, dass diese Abbildung eine Bijektion ist, indem wir jedem Untervektorraum eine Projektion zuordnen, deren Bild dieser Untervektorraum ist.
Dafür setzen wir voraus, dass man für einen Untervektorraum \( U \) eine Orthonormalbasis \( \{ u_i : i = 1, \dots, r \} \) wählen kann und dass diese eindeutig ist. Wir schreiben das Skalarprodukt als \( \Phi(x, y) = \langle x, y \rangle \).
Wir erklären \( \rho(v) = \sum_{i=1}^r \langle u_i, v \rangle u_i \) (Gleichung (1)) und stellen zunächst fest, dass das Bild von \( \rho \) komplett in \( U \) liegt. Außerdem ist \( \rho(u) = u \) für \( u \in U \). Das Bild von \( \rho \) ist also gleich \( U \).
Nun berechnen wir
\( \rho^2(v) = \sum_{j=1}^r \langle u_j, v \rangle \rho(u_j) \)
\(= \sum_{j=1}^r \langle u_j, v \rangle \sum_{i=1}^r \langle u_i, u_j \rangle u_i\)
\(= \sum_{j=1}^r \langle u_j, v \rangle u_j = \rho(v) \).
Außerdem ist
\( \langle \rho(v), w \rangle = \langle \sum_i^r \langle u_i, v \rangle u_i, w \rangle \)
\( = \sum_i^r \langle u_i, v \rangle \langle u_i, w \rangle \)
\( = \sum_i^r \langle \langle u_i, w \rangle u_i, v \rangle \)
\( = \langle \sum_i^r \langle u_i, w \rangle u_i, v \rangle \)
\( = \langle \rho(w), v \rangle \).
Da das Bild von \( \rho \) dem Untervektorraum entspricht, dem wir \( \rho \) zugeordnet haben, ist die gesuchte Bijektion \( U \mapsto \rho(U) \) mit Gleichung (1) gefunden.
Grüße
Mister
