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Wir sollen das Kurvenintegral über dem Vektorfeld \(\vec v=\binom{y^2}{2y(1-x)}\) auf 3 unterschiedlichen Wegen \(\Gamma_1\), \(\Gamma_2\) und \(\Gamma_3\) bestimmen. Im Allgemeinen hängt der Wert des Integrals vom gewählten Weg ab. Physikalisch gesehen liefert das Integral die benötigte Energie, um im Kraftfeld \(\vec v\) von einem Ort zum anderen zu gelangen. Es gibt spezielle Kraftfelder \(\vec v\) bei denen die Energie unabhängig vom gewählten Weg ist, aber das ist nicht allgemeingültig.
1-ter Weg: \(\Gamma_1\colon(1;0)\to(0;1)\)
Wir brauchen für die Integration einen Ortsvektor \(\vec r\) (Ortsvektoren starten immer am Ursprung), der den Weg entlangfährt:$$\Gamma_1\colon\vec r=\binom{\red x}{\green y}=\binom{1}{0}+t\cdot\binom{-1}{1}=\binom{\red{1-t}}{\green t}\quad;\quad t\in[0;1]$$Da \(x\) und \(y\) offenbar von \(t\) abhängen, integrieren wir mittels Substitution:$$E=\int\limits_{(1;0)}^{(0;1)}\vec v(\red x;\green y)\,d\vec r=\int\limits_{t=0}^1\vec v(\red{x(t)};\green{y(t)})\cdot\frac{d\vec r}{dt}\,dt$$$$\phantom E=\int\limits_{t=0}^1\binom{\green t^2}{2\green t\,(1-\red{(1-t)})}\cdot\binom{-1}{1}\,dt=\int\limits_{t=0}^1(-t^2+2t^2)\,dt=\int\limits_{t=0}^1t^2\,dt=\frac13$$
2-ter Weg: \(\Gamma_2\colon(1;0)\to(1;1)\to(0;1)\)
Hier könntest du analog zum 1-ten Weg vorgehen, brauchst dann natürlich 2 Parametrisierungen, eine für jede Teilstrecke. Aber du kannst dir die Prarametrisierungen hier auch sparen, da die beiden Teilwege parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Auf dem Weg von \((1;0)\) nach \((1;1)\) ändert sich die \(x\)-Koordinate nicht, also ist \(dx=0\). Auf dem Weg von \((1;1)\) nach \((0;1)\) ist die \(y\)-Koordinate fest, also ist \(dy=0\).
$$E=\int\limits_{(\red1;0)}^{(\red1;1)}\vec v(x;y)\,d\vec r+\int\limits_{(1;\green1)}^{(0;\green1)}\vec v(x;y)\,d\vec r=\int\limits_{y=0}^1\vec v(\red1;y)\,\binom{0}{dy}+\int\limits_{x=1}^0\vec v(x;\green1)\,\binom{dx}{0}$$$$\phantom E=\int\limits_{y=0}^12y(1-\red1)\,dy+\int\limits_{x=1}^0\green1^2\,dx=0+\left[x\right]_{x=1}^0=-1$$
3-ter Weg: \(\Gamma_3\colon(1;0)\to(0;1)\) im Viertelkreis
Den Ortsvektor zum Abtasten des Viertelkreises wählen wir in Polarkoordinaten:$$\vec r=\binom{\red x}{\green y}=\binom{\red{\cos\varphi}}{\green{\sin\varphi}}\quad;\quad\varphi\in\left[0;\frac\pi2\right]$$Wir integrieren nun wieder mittels Substitution:$$E=\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\vec v(\red{x(\varphi)};\green{y(\varphi)})\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\binom{\green{\sin^2\varphi}}{2\green{\sin\varphi}(1-\red{\cos\varphi)}}\binom{-\sin\varphi}{\cos\varphi}d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\left(\overbrace{\underbrace{(\cos^2\varphi-1)}_{=-\sin^2\varphi}\sin\varphi}^{=-\sin^3\varphi}+2\sin\varphi\cos\varphi-2\sin\varphi\cos^2\varphi\right)d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{\pi/2}\left(-\sin\varphi+2\sin\varphi\cos\varphi-\sin\varphi\cos^2\varphi\right)d\varphi$$$$\phantom E=\left[\cos\varphi+\sin^2\varphi+\frac13\cos^3\varphi\right]_{\varphi=0}^{\pi/2}=1-\frac43=-\frac13$$
