Acker Naturdünger und Kunstdünger

Question

Aufgabe:

Ein Acker wird mit \( x_{1} \) Einheiten Naturdünger und mit \( x_{2} \) Einheiten Kunstdünger behandelt. Die Ertragsfunktion lautet
$$ E=f\left(x_{1}, x_{2}\right)=840+4 x_{1}-1 x_{1}^{2}+10 x_{2}-3 x_{2}^{2}+3 x_{1} x_{2} $$

Der Düngemitteleinsatz von derzeit 10 Einheiten Naturdünger und 20 Einheiten Kunstdünger wird geändert, so dass 4% mehr Naturdünger und 1% weniger Kunstdünger eingesetzt werden.

a. Approximieren Sie die Änderung des Ertrags mit Hilfe des totalen Differentials.

b. Wie hoch ist die exakte Veränderung des Ertrags?

habe für a jetzt berechnet: (4-2*10+20*20)*0,4+(10-6*10+3*20)*-0,2 = 157,6, richtig?

und bei b weiß ich nicht wie ich da rechnen soll kann mir hier bitte jemand helfen? DANKE

Answer 1

Aloha :)

$$f(x_1,x_2)=840+4x_1-x_1^2+10x_2-3x_2^2+3x_1x_2$$$$df(x_1,x_2)=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2=(4-2x_1+3x_2)dx_1+(10-6x_2+3x_1)dx_2$$$$x_1=10\quad;\quad x_2=20\quad;\quad \Delta x_1=0,04x_1=0,4\quad;\quad\Delta x_2=-0,01x_2=-0,2$$$$\Delta f=(4-2\cdot10+3\cdot20)\cdot0,4+(10-6\cdot20+3\cdot10)\cdot(-0,2)=\boxed{33,6}$$

Beim zweiten Teil kannst du die Änderung exakt ausrechnen:$$f(10,4;19,8)-f(10,20)=413,08-380=\boxed{33,08}$$

Comments

super danke noch eine Frage wie kommst du hier beim zweiten Teil auf f(10,4;19,8)? danke

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Wenn ich das in der kleinen Schrift richtig erkannt habe, wird der Naturdünger von 10 um 4% erhöht:$$10+\frac{4}{100}\cdot10=10+0,4=10,4$$und der Kunstdünger wird von 20 um 1% verringert:$$20-\frac{1}{100}\cdot20=20-0,2=19,8$$