Aussagen für lineare Transformationen

Question

Sei \( L \in \mathbb{R}^{n \times n} \) beliebig.
Zeigen Sie, dass für lineare Transformationen \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, \vec{x} \mapsto L \vec{x} \) die folgenden Aussagen gelten
a) \( |f(\vec{x})|=|\vec{x}| \forall \vec{x} \in \mathbb{R}^{n} \Leftrightarrow f(\vec{x}) \cdot f(\vec{y})=\vec{x} \cdot \vec{y} \forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^{n} \)
b) Abstandserhaltende lineare Transformationen somit automatisch winkelerhaltend sind.

Leider fehlt mir der Ansatz. Vielleicht kann mir da jemand behilflich sein.

Answer 1

Hallo,

wir nehmen an, dass zu \( f \) ein Adjungiertes \( f' \) existiert. Aus \( \langle f(x), f(x) \rangle = \langle x, x \rangle \) folgt wegen \( \langle f(x), f(x) \rangle = \langle x, f'(f(x)) \rangle \), dass \( f' = f^{-1} \).

Daraus folgt \( \langle x, y \rangle = \langle x, f'(f(y) \rangle = \langle f(x), f(y) \rangle \).

Grüße

Mister

Quelle: https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry

Comments

Spielt denn das L bei $$f: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n}, \vec{x} \mapsto L\vec{x}$$ denn keine Rolle?

Und wie kann ich zeigen, dass eine abstandserhaltene lineare Transformation winkelhalbierend ist?

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Bitte. Das \( L \) ist die Matrixdarstellung vom \( f \), man kann also \( Lx = f(x) \) schreiben.

Die Winkeltreue verbirgt sich in dem Ausdruck \( \langle x, y \rangle = \langle f(x), f(y) \rangle \).