Ermittle die Gleichung der Tangente t an den Graphen Gf an der Stelle x=1

Question

Ermittel die Gleichung der Tangente t an den Graphen Gf an der Stelle x=1

f(x) = x^3 - 8x^2 + 16

Comments

y = - 13 * x + 21

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22                :-)

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Monty, deinen Kommentar habe ich leider nicht
verstanden.

And now something completely different

  Der Schachspieler Euwe fuhr mit dem Zug. Er kam mit seinem Gegenüber im Abteil ins Gespräch, ohne einander vorzustellen, und man beschloß zum Zeitvertreib Schach zu spielen.

  Im Laufe des Spiels machte sein Gegenüber einen nicht regelgerechten Zug, der dem Gegner auch einen Vorteil verschaffte. Euwe sagte aber nichts. Trotzdem gewann Euwe das Spiel souverän.

  Der Gegenspieler dachte bei sich " wie ist das möglich das ich hier gegen jemanden verliere, der zudem die Regeln noch nicht einmal zu kennen scheint" und sagte zu Euwe
" Ich verstehe das nicht das ich hier so haushoch verliere. In meinem Verein gehöre ich mit zu den Besten. Im Verein nennt man mich den kleinen Euwe ".

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Hallo Georg,

statt -13x+21 muss es -13x+22 heißen, da Roland zwei Tippfehler unterlaufen sind.      :-)

Answer 1

Gleichung der Tangente \(t\) an den Graphen \(G_f\) an der Stelle x=1
\(f(x) = x^3 - 8x^2 + 16\) bestimmen

Hallo Babsi, ich versuche einmal die Aufgabe Schritt für Schritt zu erklären.

Die Tangente und die Kurve \(G_f\) berühren sich in einem gemeinsamen Punkt P, dessen x-Koordinate 1 ist. Die y-Koordinate kannst du mit f(1) ausrechnen:

\(y_P=f(1) = 1^3 - 8x\cdot 1^2 + 16=1-8+16=9\)

Also haben wir P(1|9) gefunden.

In diesem gemeinsamen Punkt hat die Tangente die gleiche Steigung wie die Kurve, d.h. m=f'(1).

\(f'(x)=3x^2-16x\)

Für x=1 erhalten wir also \(f'(1)=3\cdot 1^2-16=3-16=-13\).

Also ist m=-13.

Die Tangentengleichung lautet t(x)=mx+b.

Wir wissen, dass m=-13 ist und dass der Punkt P(1|9) auf der Tangente liegt, d.h. x=1 und y=9.

Das setzen wir ein um b zu bestimmen.

9=-13·1+b     |+13

22=b

Die Tangentengleichung lautet also \(\boxed{t(x)=-13x+22}\)

Und hier kommen noch die Graphen:

https://www.desmos.com/calculator/nfipv9otcq

Comments

Vielen lieben Dank!

Schritt für Schritt hilft mir eher, als alles andere :)

Bin kein Mathe guru, werde auch ni einer werden und bin froh, dass es hier so viele liebe Leute gibt, die den etwas Schwächeren in Mathe helfen :)

Answer 2

Aloha :)

Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung \(m\). Das heißt:$$m=\frac{y-y_0}{x-x_0}\quad;\quad x\ne x_0$$Wenn wir die Tangente an eine Kurve \(f(x)\) im Punkt \((x_0|f(x_0))\) bestimmen sollen, ersetzen wir die Steigung \(m\) durch die Ableitung \(f'(x_0)\) und den Punkt \((x_0|y_0)\) durch den Punkt \((x_0|f(x_0))\):$$f'(x_0)=\frac{y-f(x_0)}{x-x_0}\quad\Leftrightarrow\quad y=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Hier ist \(x_0=1\), sodass:$$f(x)=x^3-8x^2+16\quad\Rightarrow\quad f(1)=9$$$$f'(x)=3x^2-16x\quad\;\quad\Rightarrow\quad f'(1)=-13$$Damit erhalten wir als Tangente:$$y(x)=9-13(x-1)=-13x+22$$

~plot~ x^3-8x^2+16 ; -13x+22 ; {1|9} ; [[-2|2,5|-10|23]] ~plot~

Answer 3

f(x)=x³-8x²+16

Ableiten: f '(x)=3x²-16x; f '(1)=3-16=-13. Das ist die Steigung im Berührpunkt (1|9). Ansatz für die Tangentengleichung y=-13x+b. Punkt (1|9) einsetzen: 8=-13+b oder b=22.

Gleichung der Tangente t an den Graphen G_f an der Stelle x=1: y=-13x+22.

Comments

Woher kommt denn jetzt die 9?

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f(1)=1^{3}-8·1^{2}+16=9

f(1)=1-8+16=9

9=-13+b

b=22

y=-13x+22

Answer 4

t(x) = (x-1)*f '(1) +f(1)

Nur noch einsetzen und zusammenfassen.

Comments

Ich verstehe eure Rechenwege leider nicht!:/

Die 1. Ableitung von der Gleichung ist doch =3x^2-16x+16

So und dann muss ich doch dir besondere Stelle 1 in die Gleichung setzten?

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@babsi
Falls du die Lösungswege nicht verstanden
hast biete ich dir eine komplette neue Erklärung an.

@Gast2016,
alias " Andreas ",
alias "Alias "

Hört auf die Kinder mit der Punkt-Steigungsform
zu verschrecken

Answer 5

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

Normalengleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

xo=Stelle,wo die Tangente/Normale liegen soll

f(x)=x³-8*x²+16 abgeleitet f´(x)=3*x²-16*x  mit xo=1

f(xo)=f(1)=1³-8*1²+16=1+16-8=17-8=9

f´(xo)=f´(1)=3*1²-16*1=3-16=-13

ft(x)=-13*(x-1)+9=-133*x+13+9

Tangentengleichung yt=ft(x)=-13*x+22

Probe: ft(1)=-13*1+22=9  und f(1)=1³-8*1²+16=17-8=0

Hier die Herleitung,vergrößern und/oder herunterladen

Text erkannt:

\( f(x)=-x \)
\( f^{\prime}(x)=2^{2}+x \operatorname{sit} x=0-2 \) ersibe \( f(2)-2^{2}-4 \)

 ~plot~x^3-8*x^2+16;-13*x+22;[[-8|10|-65|20]];x=1~plot~