Question

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen und der x-Achse im Intervall [0;2] begrenzt wird.

f(x)=x^3-8x^2+16x

Ich hab ihr als Ergebnis 1 FE heraus.

Answer 1

Tipp:Besorge dir privat einen Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen haben.

Solch eine Aufgabe rechnest du dann in 5 Minuten und die Dinger verrechnen sich nie !!

1) immer eine Zeichnung machen,damit man einen Überblick hat

2) die Nullstellen bestimmen,weil man nicht über Nullstellen hinweg integrieren darf

f(x)=x³-8*x²+16*x integriert

F(x)=∫(x³-8*x²+16*x)*dx=∫x³*dx-8*∫x²*dx+16*∫x*dx  Konstanten können vor das Integralzeichen gezogen werden

F(x)=x^(3+1)*1/(3+1)-8*x^(2+1)*1/(2+1)+16*x^(1+1)*1/(1+1)+C

F(x)=1/4*x^4-8/3*x³+8*x²+C

A=obere Grenez minus untere Grenze  mit xu=0 und xo=2

Nullstellen von f(x)=....  bei x1=0 und x2=4 doppelte Nullstelle (Graph berührt hier nur die x-Achse)

also keine Nullstelle im Integrationsbereich xu=0 und xo=2

A=(1/4*2^4-8/3*2³+8*2²) - (1/4*0^4-8/3*0³+8*0²)=(14 2/3) - (0)

A=14  2/3 FE (Flächeneinheiten)

Comments

Vielen lieben Dank, es war aber im rechnerfreien Teil gefragt:)

Answer 2

Nullstellen berechnen

        x³-8x²+16x = 0    ⇔    x = 0 ∨ x = 4

Keine der Nullstellen liegt im Intervall (0, 2). Der Flächeninhalt ist somit der Betrag des Integrals von f auf dem Intervall [0, 2].

        ∫_0..2 (x³-8x²+16x) dx
    = [1/4 x⁴ - 8/3 x³ + 8x²]_0..2
    = (1/4·2⁴ - 8/3·2³ + 8·2²) - (1/4·0⁴ - 8/3·0³ + 8·0²)

Answer 3

f(x)=x^3-8x^2+16x
Stammfunktion
S ( x ) = x^4 / 4 - 8 * x^3 / 3 + 16*x^2/2
[ S ] zwischen 0 und 2
F ( x ) =   2^4 / 4 - 8 * 2^3 / 3 + 16*2^2 / 2 = 4 - 64 / 3 + 32
( 12 - 64 + 96 ) / 3 = - 44 / 3

Answer 4

Aloha :)

Wenn eine Kurve unterhalb der x-Achse verläuft, liefert sie negative Beiträge zum Integral, wenn sie oberhalb verläuft, liefert sie positive Beiträge. Das müssen wir bei Flächenberechnungen beachten. Daher integrieren wir zwischen den Nullstellen und nehmen die Beträge der Integrale.$$f(x)=x^3-8x^2+16x=x(x^2-8x+16)=x(x-4)^2$$Die Nullstellen liegen bei \(x=0\) und bei \(x=4\). In dem Intervall \([0;2]\) liegen also keine Nullstellen und wir können direkt integrieren:

$$F=\left|\int_0^2(x^3-8x^2+16x)dx\right|=\left|\,\left[\frac{x^4}{4}-\frac{8}{3}x^3+8x^2\right]_0^2\,\right|=\frac{44}{3}=14,\overline6$$

~plot~ x^3-8x^2+16x ; x=2 ; [[-0,5|5|-1|10]] ~plot~