Vektoren | Trapez Flächeninhalt

Question

Ich habe einen Würfel ABCDEFGH mit A(0|0|0) und G(5|5|5)

Die Ebene T schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten I(5|0|1) J(2|5|0) K(0|5|2) und L(1|0|5)

IJKL ist ein Trapez.

ich soll nun den flächeninhalt des trapezes berechnen, die Formel wäre ja:

1/2 *(a+c)*h , oder nicht?

ich habe das so eingesetzt =

1/2*√(32+8) *h , das problem ist , dass ich nicht weiß wie ich an die höhe komme und, ob mein ANsatzt überhaupt richtig ist.

Könnte mir das jemand ausfürlich Erklären?

Answer 1

Hallo Torsten,

mache Dir eine Bild ...

(klick auf das Bild)

ich habe das so eingesetzt = 1/2*√(32+8) *h

das ist falsch, da \(\sqrt{32} + \sqrt{8} \ne \sqrt{32 +8}\).

Du könntest die Höhe berechnen, da diese z.B. der Abstand von \(K\) zur Geraden durch \(L\) und \(I\) ist. Einfacher ist es, das Trapez am Mittelpunkt \(M\) der Seite \(IJ\) zu spiegeln und dann mittels Kreuzprodukt die Fläche des Parallelogramms \(LK'L'K\) zu berechnen. Zur Kontrolle:$$A_{\text{Trapez}} = 3 \sqrt{66}$$

Answer 2

I(5|0|1) J(2|5|0) K(0|5|2) und L(1|0|5)

In diesem angeblichen Trapez gibt es keine parallelen Seiten, wenn die Ecken z.B.so bezeichnet sind:

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besser kryptisch als falsch

Answer 3

Du hast doch in der analytischen Geometrie alle Möglichkeiten. Die bequemste ist doch die Berechnung über das Kreuzprodukt.

IJ = J - I = [-3, 5, -1]
IK = [-5, 5, 1]
IL = [-4, 0, 4]

A = 1/2·|[-3, 5, -1] ⨯ [-5, 5, 1]| + 1/2·|[-4, 0, 4] ⨯ [-5, 5, 1]| = 3·√66 = 24.37

Andere Möglichkeit

Überlege dir warum die Eingezeichnete Strecke die Höhe darstellt und berechne die Länge der Strecke

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Danke für die Antwort, aber ich würde das gerne ohne das Kreuzprodukt machen

Answer 4

ich soll nun den flächeninhalt des trapezes berechnen, die Formel wäre ja: 1/2 *(a+c)*h , oder nicht?

Ja.

1/2*√(32+8) *h

Hast du da √32 + √8 zusammengefasst zu √(32 + 8)? Falls du das dürftest, dann wäre

        2 = 1 + 1 = √1 + √1 = √(1+1) = √2.

wie ich an die höhe komme

Das Trapez ist gleichschenklig wegen IL || JK und |IJ| = |KL|. Als Höhe darfst du deshalb wegen der Symmetrie die Strecke vom Mittelpunkt von JK zum Mittelpunkt von IL verwenden.

Comments

Wie berrechne ich diese Strecke?

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Mittelpunkt zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\) ist der Punkt mir Ortsvektor

        \(\vec{OM} = \frac{1}{2}\left(\vec{OA} + \vec{OB}\right)\).

Der Vektor \(\vec{v}\) von einem Punkt \(M_1\) zu einem Punkt \(M_2\) ist

        \(\vec{v} = \vec{OM_2}-\vec{OM_1}\).

Du brauchst die Länge dieses Vektors.

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Also die beiden vektoren IL und JK durch 2 teilen  und dann die beiden vektoren Subtrahieren?

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$$\text{Mittelpunkt der Strecke JK:}\\ \vec{OJ}+\frac{1}{2}\vec{JK}=\begin{pmatrix} 2\\5\\0 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\5\\1 \end{pmatrix}$$

So berechnest du auch den Mittelpunkt der Strecke IL.

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\(\vec{OM_1} = \frac{1}{2}\left(\vec{OI} + \vec{OL}\right)\) ist der Ortsvektor des Mittelpunktes zwischen \(I\) und \(L\).

\(\vec{OM_2} = \frac{1}{2}\left(\vec{OJ} + \vec{OK}\right)\) ist der Ortsvektor des Mittelpunktes zwischen \(J\) und \(K\).

\(\vec{v} = \vec{OM_2}-\vec{OM_1}\) ist der Vektor von \(M_1\) nach \(M_2\). Berechne die Länge dieses Vektors.