Kurvenintegral mit Polarkoordinaten

Question

Wir hatten in der Uni eine Aufgabe die ich nicht verstehe.

Wir habe eine Funktion F(x,y)= (-y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2)) auf dem Gebiet ℝ^2\{(x,0):x≤0}

Wir wissen schon, dass die IB erfüllt ist, also das F ein Potentioal besitzt.

Dann haben wir gesagt, dass wir V(x,y) ausrechnen indem wir für jeden Punkt (x,y) im Gebiet eine Kurve zwischen (1,0) und (x,y) wählen und V als V(x,y)=V(x,y)- V(1,0) =∫_γ(F*dx).

Wir sollen das mit Polarkoordinaten machen, deswegen haben wir

 (x,y)=(r cosΘ,r sinΘ), Θ∈]-π,π[ gewählt.

(1,0) verbunden mit (r,0) haben wir durch die Kurve

 γ1(t)=(1-t)(1,0)+t(r,0), t ∈ [0,1] gegeben

(r,0) mit (r cosΘ, r sinΘ) durch die Kurve

γ2(t)=(r cos t, r sin t), t ∈ [0,Θ] 

Für das Potential erhalten wir dannV(x,y)= ∫γ(F*dx)= ∫γ1(F*dx)+∫γ2(F,da)=0+Θ=Θ

Kann mir jemand diese Rechnung erklären, besonders den letzten Schritt wie man auf die Ergebnisse der Integrale kommt?

Wäre sehr lieb!

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion lautet:$$\vec F(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{-y}{x^2+y^2}\\\frac{x}{x^2+y^2}\end{pmatrix}\quad;\quad(x,y)\in\mathbb R^2\setminus\{(x;0):\,x\le0\}$$Zunächst fällt auf, dass die Funktion eigentlich nur für \((0;0)\) nicht definiert wäre, aber aus der Definitionsmenge zusätzlich die negative x-Achse herausgenommen wurde. Das ist wichtig, damit das Gebiet einfach zusammenhängend ist. Wäre nur der Nullpunkt ausgenommen, könnte man nicht jeden geschlossenen Weg auf die Größe eines Punktes zusammenziehen. Das Herausnehmen der negativen x-Achse heilt dies und macht den Definitionsbereich zu einem einfach zusammenhängenden Gebiet. Da zusätzlich die Integrabilitätsbedingungen \(\partial_yF_x=\partial_xF_y\) erfüllt ist, gibt es ein Potential \(V(x,y)\) für \(\vec F(x,y)\):$$V(x,y)=\int\limits_{(1;0)}^{(x;y)}\vec F(x,y)\,d\vec r$$Zur Berechnung werden Polarkoordinaten gewählt und 2 Meilensteine auf dem Weg definiert:$$\binom{1}{0}\stackrel{\gamma_1}{\to}\binom{r}{0}\stackrel{\gamma_2}{\to}\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r:=\sqrt{x^2+y^2}\quad;\quad\varphi:=\operatorname{atan2(y,x)\quad(^\ast)}$$Mögliche Parametrisierungen der beiden Wege sind:$$\gamma_1:\;\vec r(t)=\binom{1}{0}+t\binom{r-1}{0}=\binom{1+t(r-1)}{0}\quad;\quad t\in[0;1]$$$$\gamma_2:\;\vec r(t)=\binom{r\cos t}{r\sin t}\quad;\quad t\in[0;\varphi]$$

Entlang des Weges \(\gamma_1\) gilt für den Integrand:$$\vec F\cdot d\vec r=F(1+t(r-1);0)\cdot\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{1+t(r-1)}\end{pmatrix}\cdot\binom{r-1}{0}dt=0\cdot dt$$Entlang des Weges \(\gamma_2\) lautet der Integrand:$$\vec F\cdot d\vec r=F(r\cos t;r\sin t)\cdot\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\begin{pmatrix}-\frac{r\sin t}{r^2}\\\frac{r\cos t}{r^2}\end{pmatrix}\cdot\binom{-r\sin t}{r\cos t}dt$$$$\phantom{\vec F\cdot d\vec r}=(\sin^2t+\cos^2t)dt=1\cdot dt$$

Damit berechnen wir nun das Potential \(V\):$$V(x,y)=\int\limits_{\gamma_1+\gamma_2}\vec F\,d\vec r=\int\limits_0^10\cdot dt+\int\limits_0^\varphi1\cdot dt=0+\varphi=\varphi=\operatorname{atan2}(y,x)$$

\((^\ast)\)Bemerkung: Die Funktion \(\operatorname{atan2}(y,x)\) ist im Prinzip gleich \(\arctan(y/x)\), fängt aber den Sonderfall \(x=0\) ab und liefert auch dann den korrekten Winkel, wenn \(x<0\) ist.

Comments

Vielen Dank ich verstehe es!

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Sehr schön, dann hat sich die Mühe ja gelohnt.

Ich freue mich übrigens immer über positive Bewertungen (beste Antwort oder Daumen hoch)... \o/