Bestimmen Sie Nullstellen der Funktion und geben Sie die Funktionsgleichung in Linearfaktorenschreibweise an.

Question

Gegeben ist die ganzrationale Funktion f durch die Gleichung f(x)= -1/3x^3+ 2×^2.

Der Graph der Funktion f im kartesischen Koordinatensystem heißt Gf .

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f und geben Sie die Funktionsgleichung von f in Linearfaktorenschreibweise an.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=-\frac{1}{3}x^3+2x^2=-\frac{1}{3}x^2\left(x-6\right)\quad\Rightarrow\quad\text{NSt.:}\quad(0|0)\;;\;(6|0)$$Bei \(x=0\) liegt eine doppelte Nullstelle vor, daher berührt die Funktion dort nur die \(x\)-Achse, schneidet sie aber nicht.

~plot~ -1/3x^3+2x^2 ; [[-2|8|-1|12]] ~plot~

Answer 2

Bildungsgesetz f(x)=(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*a  (Nullstellenform)

x1,x2 und x3 sind die reellen Nullstellen (Schnittstellen mit der x-Achse)

Das Ganze wird dann mit dem Faktor a multipliziert

f(x)=0=x*(-1/3*x²+2*x)

Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0

also x1=0

0=-1/3*x²+2*x dividiert durch -1/3

0=-1/3*(-3/1)*x²+2*(-3/1)*x

0=1*x²-6/1*x

0=x²-6*x hat die Form gemischtquadratische Form mit q=0 → 0=x²+p*x Nullstellen bei x1=0 und x2=-p

also x2=0 und x3=-(-6)=6

x1=x2=0  → doppelte Nullstelle (der Graph berührt hier die x-Achse nur)

Linearfaktoren → (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)

f(x)=(x-0)*(x-0)*(x-6)*a

ausmultipliziert

(x-0)*(x-0)=x²-0*x-x*0+0=x²

x²*(x-6)=x³-6*x²  multipliziert mit -1/3  weil ja steht -1/3*x³

f(x)=-1/3*x³+6/2*x²=-1/3*x³+2*x³

also f(x)=(x-0)*(x-0)*(x-6) *-1/3

~plot~-1/3*x^3+2*x^2;[[-10|10|-10|15]];x=6~plot~