Aloha :)
Die harmonische Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}\) ist divergent für \(\alpha\le1\) und konvergent für \(\alpha>1\). Die Reihe hier konvergiert daher nicht absolut, denn:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right|=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1/2}}\to\infty$$
Zur Prüfung der Konvergenz verwenden wir das Leibniz-Kriterium: "Sei (a_n) eine nicht-negative monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^na_n\)."$$a_n=\frac{1}{\sqrt n}\quad\Rightarrow\quad a_{n+1}-a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt n}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\cdot\sqrt n}<0$$$$a_n=\frac{1}{\sqrt n}\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$$Die Folge \((a_n)\) ist also eine positive, streng monoton fallende Nullfolge, sodass nach dem Leibniz-Kriterium gilt:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\text{ konvergiert}$$
