konvergiert diese reihe, auch absolut?

Question

kovergiert die reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{(-1)^n\cdot\frac{1}{\sqrt{n}} }$ und konvergiert die reihe auch absolut?

mag jemand mir das mal ausführlich durchrechnen bitte? dass die reihe vorzeichenwechsel hat ist das einzige was ich sehe.
komme mit dem thema absolut nich zurecht:( danke!

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könnten sie noch etwas mehr ausführen was mir das sagen soll :)

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Der LW ist unnötig kompliziert.

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ahhh sry ich hatte den übungszettel nicht gross genug gestellt und deswegen k¹/2 gelesen. es muss aber k^-1/2 heissen und dann ist es ja eine harmonische reihe die gegen unendlich geht, richtig?
nur wie schreib ich das vernünftig auf und was ist mit dem absolut gemeint?

Answer 1

Aloha :)

Die harmonische Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^\alpha}$ ist divergent für $\alpha\le1$ und konvergent für $\alpha>1$. Die Reihe hier konvergiert daher nicht absolut, denn:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right|=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{1/2}}\to\infty$$

Zur Prüfung der Konvergenz verwenden wir das Leibniz-Kriterium: "Sei (a_n) eine nicht-negative monoton fallende Nullfolge, dann konvergiert die Reihe $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^na_n$."$$a_n=\frac{1}{\sqrt n}\quad\Rightarrow\quad a_{n+1}-a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt n}=\frac{\sqrt n-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\cdot\sqrt n}<0$$$$a_n=\frac{1}{\sqrt n}\quad\Rightarrow\quad\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$$Die Folge $(a_n)$ ist also eine positive, streng monoton fallende Nullfolge, sodass nach dem Leibniz-Kriterium gilt:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\text{ konvergiert}$$

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ahhh sry ich hatte den übungszettel nicht gross genug gestellt und deswegen k¹/2 gelesen. es muss aber k^-1/2 heissen und dann ist es ja eine harmonische reihe die gegen unendlich geht, richtig?
nur wie schreib ich das vernünftig auf und was ist mit dem absolut gemeint?

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Nach deiner Berichtigung habe ich meine Antwort nochmal überarbeitet ;)