Lagrange Multiple Choice mit Hilfe F(x) und Nebenbedingung (Optimum, Gewinn, Produktion)

Question

Die Produktionsfunktion eines Herstellers lautet \[ F\left(x_{1}, x_{2}\right)=2 x_{1}^{2}+74 x_{1} x_{2}+16 x_{2}^{2} \] Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Faktorpreisen 98 für \( x_{1} \) und 74 für \( x_{2} \) und dem Produktionsniveau 3049 . Markieren Sie die korrekten Aussagen. 

O a. Im Optimum beträgt der Faktoreinsatz \( x_{1} \) 2.90.

O b. Im Optimum beträgt der Faktoreinsatz \( x_{2} \) damit 3.29 .

O c. Die minimalen kosten bei gegebener Produktionsmenge betragen 921.09 GE.

O d. Der maximale Gewinn bei einem Verkaufspreis von 172.00 Geldeinheiten pro Stück beträgt 523900.34 GE.

O e. Das optimale Faktoreinsatzverhältnis von \( x_{1} \) zu \( x_{2} \) beträgt 0.88 .

 Sofern ich richtig denke ist meine Lagrange Funktion dann x₁(x) x₂(y) lamda(z): 98x+74y-z(2^2+74xy+16^2-3049)

Dann leite ich nach x bzw. y bzw. z ab:

L`(x)= 98-z(4x+74y)

L´(y)= 74-z(32y+74x)

L´(z)= -16y^2-74xy-2x^2+ 3049

Ab hier brauche ich Hilfe sofern alles richtig ist!

Ich muss nun Gleichung 1 und 2 Gleichsetzen und in die 3. Gleichung Einsetzen um die Minimalkosten raus zu bekommen.

Bei den restlichen Teilaufgaben bin ich jedoch überfragt und bin aus den bereits vorhandenen Beiträgen nich schlau geworden. Wäre für jede Hilfe dankbar :)

Answer 1

Hallo,

komme jedoch nicht auf dieErgebnisse von c und e ...

zu c) wenn Du \(x_1\) und \(x_2\) berechnet hast, so brauchst Du das doch bloss in die Kostenfunktion einsetzen$$\begin{aligned}K &= 98x_1 + 74x_2 \\ K_{\text{opt}}&= 98 \cdot 2,8967 + 74 \cdot 8,6110 \\&\approx 921,09\end{aligned}$$Die Aussage bei c) ist also korrekt.

Nochmal zur Veransschaulichung

~plot~ (-74x+sqrt(74^2x^2-64*(2x^2 - 3049)))/(32);[[-2|20|-1|15]];(-98x+950)/74;(-98x+900)/74;{2.9|8.61} ~plot~
oben im Koordinatensystem ist horizontal \(x_1\) und vertikal \(x_2\) aufgetragen. Der blaue Graph zeigt das Produktionsniveau bei 3049. Die grüne Gerade ist die Funktion bei Kosten von 900GE und die rote die Funktion für Kosten von 950GE. Man kann sehen, dass die minimalen Kosten auf dem besagten Produktinsniveau irgendwo dazwischen liegen.

zu e) wenn man die optimale (d.h. kostenminimale) Aufteilung für \(x_1\) und \(x_2\) berechnet fällt das optimale Verhältnis als Zwischenergebnis ab: $$\begin{aligned} L(x_1,x_2, k) &= 98x_1 + 74x_2 + k(2x_1^2+74x_1x_2+16x_2^2 - 3049) \\ \frac{\partial L}{\partial x_1} &= 98 + k(4x_1 + 74x_2) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial x_2} &= 74 + k(74x_1 + 32x_2) = 0 \\ \implies 74 (4x_1 + 74x_2) &= 98(74x_1 + 32x_2) \\ (74^2 - 98\cdot 32) x_2 &= 94\cdot 74x_1 \\ \frac{x_1}{x_2} &= \frac{74^2 - 98\cdot 32}{94\cdot 74} = \frac{37^2 - 98 \cdot 8}{47 \cdot 37} \\ &\approx 0,336400 \end{aligned}$$dies ist das optimale Faktorenverhältnis unabhängig vom Produktionsniveau. Letzteres fällt ja beim Ableiten raus. Die Aussage in e) ist also falsch.

Setzt man dies Verhältnis in die Nebenbedingung ein, so kommen die beiden Extrema (Minimum und Maximum) heraus.

Gruß Werner

Comments

Alles klar danke

Answer 2

Soweit sieht das gut aus. Du musst deine Ableitungen gleich Null setzen. Dann erst hast du ein Gleichungssystem was du auflösen kannst

98 - k·(4·x + 74·y) = 0
74 - k·(74·x + 32·y) = 0
3049 - 2·x^2 - 74·x·y - 16·y^2 = 0

Ich muss nun Gleichung 1 und 2 Gleichsetzen und in die 3. Gleichung Einsetzen um die Minimalkosten raus zu bekommen.

Löse die erste und zweite Gleichung nach k auf und setzte k dann gleich. Löse die entstehende Gleichung ohne k nach x oder y auf und setzte das in die dritte Gleichung ein. Das führt zum Ziel.

Meine Kontroll-Lösung lautet: x = 2.897 ∧ y = 8.611 ∧ k = 0.1510

Comments

ok d.h a  ist richtig

d ist falsch

b ist auch falsch

komme jedoch nicht auf dieErgebnisse von c und e wenn du da auch nochmal aushelfen könntet wäre nett