Optimale Faktorkombination bestimmen

Question

Hey ihr Lieben!

Könnte mir jemand einen riesenen Gefallen tun und bei dieser Aufgabe behilflich sein? Ich weiß, dass man hierbei mit der Lagrange-methode vorgehen soll, aber leider kann ich die gar nicht :(

Schon mal danke im voraus, glg

Comments

Hallo

warum denkst du, dass du es lernst, ohne selbst zu probieren, denn andere Beispiele wurden dir sicher vorgestellt. Hast du die Nebenbedingung denn schon mal als Gleichung formuliert?

Gruß lul

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hi, danke für deine Antwort!

Bei mir sieht das leider so chaotisch aus - ich glaube auch nicht, dass ich hier richtig gerechnet habe, und ich mich immer dumm fühle meine peinlichen versuche zu Posten:D

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$L(x_1,x_2, \lambda)= 1224x_1^2 + 1000x_2^2 \dots$  ?

es sollen doch sicher die Kosten minimiert werden. Und wenn Du zum Bäcker gehst und $x_1$ Brote kaufst und jedes Brot kostet $72$ - wie hoch sind dann Deine Kosten?

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Hi, danke für deine Antwort!

Ich komme jetzt auf diese Ergebnisse... glaube aber nicht, dass ich richtig gerechnet habe, oder?

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... glaube aber nicht, dass ich richtig gerechnet habe, oder?

nö - bei der Multiplikation eines Bruches mit einer Zahl, darf nur der Zähler mit der Zahl multipliziert werden. Der Nenner muss unverändert bleiben.

Die Ableitung nach $\lambda$ kannst Du Dir immer sparen, denn das Resultat ist immer die Nebenbedingung.

Beim Auflösen solltest Du zunächst versuchen das $\lambda$ zu entfernen. D.h. löse erst eine der Gleichungen nach $\lambda$ auf - z.B.: $\lambda = \frac{72}{34x_1 + 71x_2}$ und setze diese in die andere Gleichung ein. Und benütze anschließend diese Gleichung und die Nebenbedingung; dann hast Du zwei Gleichungen für die Unbekannten $x_1$ und $x_2$.

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Ich befürchte ich kriege das wohl nie hin :(

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Ich befürchte ich kriege das wohl nie hin :(

Beim Einsetzen von $x_1$ und $x_2$ in die Nebenbedingung sind die Werte völlig daneben. Wenn $x_2 \approx 0,4/\lambda$ ist, dann kann $10x_2^2$ nicht $\approx 15,4/\lambda^2$ sein - das muss ganz grob bei $1,6/\lambda^2$ liegen ...

Answer 1

Hallo Shanna,

Die Ableitungen sind $$\frac{\partial L}{\partial x_1} = 72 - \lambda(34x_1 + 71x_2) = 0 \implies \lambda = \frac{72}{34x_1 + 71x_2} \\ \frac{\partial L}{\partial x_2} = 100 - \lambda(71 x_1 + 20x_2) = 0$$ $$\begin{aligned} \implies \frac{72}{34x_1 + 71x_2} (71 x_1 + 20x_2)&= 100 \\ 72 (71 x_1 + 20x_2) &= 100(34x_1 + 71x_2) \\ 5112 x_1 + 1440x_2 &= 3400 x_1 + 7100 x_2 \\ 1712 x_1 -5660 x_2 &= 0 \\ x_1 &= \frac{5660 }{1712} x_2 \approx 3,3061 x_2\end{aligned}$$ jetzt ist das $\lambda$ entfernt und das braucht man auch nicht mehr und man kann sofort das Verhältnis $x_1/x_2$ prüfen - das passt schon mal. Jetzt noch in die Nebenbedingung einsetzen: $$\begin{aligned}17x_1^2 + 71x_1^2\left( \frac{1712}{5660 }\right) + 10\left( \frac{1712}{5660 }\right)^2x_1^2 &= 3796 \\ x_1 &\approx 9,81674 \\ x_2 &\approx 2,96930\end{aligned}$$ damit wären die erste und dritte und die letzte Aussage richtig und ob die Aussage über den Gewinn richtig ist, darfst Du selber ausrechnen.

Korrektur: die Aussage bei b) ist falsch: $2,70 \not \approx 2,969 \ldots$

Gruß Werner

Comments

Vielen, vielen Dank, die Lagrange Methode macht mich wirklich fertig :(

Den Gewinn hab ich rausgekriegt, damit war d auch richtig! Vielen Dank nochmal an alle, die mir beim Lösen des Problems so hilfreich waren! :)

Liebe Grüße

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gern geschehen.

und versuche das nächste mal, zuerst das $\lambda$ zu eliminieren. Also zuerst nach $\lambda$ auflösen ;-)

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Hallo Werner.
Wie kommst du drauf, dass die zweite Aussage richtig ist? Wenn für x2 2,96930 herauskommt und bei der Aussage 2,70 steht? 

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... für x2 2,96930 herauskommt und bei der Aussage 2,70 steht? 

Weil ich statt $2,96 \ldots$ wohl $2,69 \ldots$ gelesen habe und es gestern schon etwas später am Abend war.