Konvergenz einer alternierenden Reihe (im Exponenten)

Question

Aufgabe:

Wähle das passende Kriterium und bestimme, ob (absolut) konvergent oder divergent.

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}^{(2+(-1)^n) · n} \)

_n=1∑∞ _{(1/2) ^ ((2+(-1)^n)*n)}

Problem/Ansatz:

Da im Exponenten \( (-1)^n \) vorkommt, handelt es sich um eine alternierende Reihe und ich würde das Leibniz-Kriterium wählen, jedoch weiß ich nicht weiter.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bestimme ob die Reihen konvergent, nicht konvergent oder absolut konvergent sind.

Stichworte: konvergenz,reihen,absolut,divergenz

Hi Leute es würde mich sehr freuen wenn mit hier jemand helfen würde

Bestimme ob die Reihen konvergent, nicht konvergent oder absolut konvergent sind.

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}^{(2+(-1)^n)*n}$$

Danke für die Hilfe :(

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Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen ob eine Reihe konvergiert, absolut konvergiert oder nicht konvergiert.

Stichworte: reihen,konvergenz

Ich soll überprüfen,ob diese Reihen nicht konvergieren, konvergieren oder sogar absolut konvergieren.

1.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{4}}\sum\limits_{k=0}^{n}{k}} \)

2.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{2}})^{(2+(-1)^{n})*n} \)

Ich würde mich über Hilfe freuen.

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Für die erste Reihe siehe https://www.mathelounge.de/727815/bestimmt-konvergieren-konvergieren-absolut-konvergieren.

Answer 1

Die Reihenglieder sind alle positiv, nix alternierend.

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{(2+(-1)^n)*n}$$

Kannst du in die Summe zweier konvergenter Reihen aufteilen

(gerade und ungerade Indices trennen.)

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{(6*n)}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{(2n-1)}$$

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{64})^{n}+2*\sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{(2n)}$$

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{64})^{n}+2*\sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{n}$$

und dann über geometrische Reihe "abrechnen".

Comments

Okay. Und weil 1/64 und 1/4 kleiner sind als 1 konvergiert die Reihe stimmts?

Nur verstehe ich nicht wie der exponent zerteilt wurde sodass die exponenten zustande kommen.

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Hallo mathef,

die Ergebnisse sind nicht identisch.

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Könntest du mir im ersten Schritt erklären wie die Exponenten zustande kommen? Also 6*n und 1+2n.

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Die geraden Werte für n bekommst du

ja, wenn du statt n in der Summe 2n schreibst

(Es geht dann n trotzdem von 1 bis unendlich.)

und du hast dann im Exponenten

( 2+(-1)^(2n) ) *(2n) = (2+1)*(2n) = 6n

Entsprechend die ungeraden mit 2n-1

(ich sehe gerade, dass ich 2n+1 genommen hatte,

aber dann würde es ja mit n=3 und nicht mit n=1

starten. das korrigiere ich noch.)

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Ok danke habs verstanden