Zeigen Sie, dass F im Fall b) diagonalisierbar ist, im Fall a) jedoch nicht.

Question

Aufgabe

Sei F:V -> V linear mit

a) V = R²,             b) V = C²

und bzgl. der Standardbasis darstellenden Matrix A = \( \begin{pmatrix} cos α & -sin α \\ sin α & cos α \end{pmatrix} \) mit α∈]0,π[.

Zeigen Sie, dass F im Fall b) diagonalisierbar ist, im Fall a) jedoch nicht.

ich habe hier leider keine Idee, wie man hier vorangehen soll und wäre für Erklärungen dankbar.

Comments

Hallo,

für eine Diagonalisierung brauchst Du Eigenwerte und Eigenvektoren. Berechne die doch mal für die Matrix A.

Gruß

Answer 1

Aloha :)

Die Nullstellen des charakteristischen (\chi(\lambda)\) Polynoms sind die Eigenwerte:$$0\stackrel{!}{=}\chi(\lambda)=\operatorname{det}\begin{pmatrix}\cos\alpha-\lambda & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha-\lambda\end{pmatrix}=(\cos\alpha-\lambda)^2+\sin^2\alpha$$$$(\cos\alpha-\lambda)^2=-\sin^2\alpha$$

In \(\mathbb{R}\) hat diese Gleichung für \(\alpha\in]0;\pi[\) keine Lösung, weil die linke Seite \(\ge0\) und die rechte Seite \(<0\) ist. Zur Diagonalisierung brauchen wir jedoch 2 unterschiedliche Eigenwerte.

In \(\mathbb{C}\) lässt sich die Gleichung lösen:$$(\cos\alpha-\lambda)^2=i^2\sin^2\alpha$$$$\cos\alpha-\lambda=\pm i\sin\alpha$$$$\lambda_{1;2}=\cos\alpha\mp i\sin\alpha$$Das sind 2 verschiedene Eigenwerte, sodass die Matrix diagonalisierbar ist.