Aufgabe: Aufgabe 2b):Hier soll untersucht werden, welche der angegeben Vektoren (Tabelle) Eigenvektoren zu den zuvor ausgerechneten Eigenwerten bilden.
Problem/Ansatz: Ich habe die Eigenvektoren gefunden,indem ich zu jedem Eigenwert den Eigenraum bestimmt habe und bin auch auf die richtige Lösung gekommen.Jedoch wurde in den Lösungen ein anderer Lösungsansatz verwendet,nämlich:
A*(a,...,d).
Fehlt hier aber nicht noch die Multiplikation mit der inversen Matrix von A,denn dann würde ja gelten: (a,...d)*A*(a,...d)-1 =diag(λ1,...,λ4).Also wie ist man hier auf die richtigen Eigenvektoren gekommen,ohne die Eigenräume bestimmen zu müssen?
Text erkannt:
Aufgabe 2
Vorgegeben sei die reelle \( (4 \times 4) \)-Matrix
\( A:=\left(\begin{array}{cccc} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right) \)
(a) Geben Sie die Eigenwerte der Matrix \( A \) an.
(b) Welche der folgenden Vektoren sind Eigenvektoren der Matrix \( A \) ? Geben Sie zu den Eigenvektoren jeweils den zugehörigen Eigenwert an.
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline & \multicolumn{2}{|c|}{ Eigenvektor Vektor } & gehört zum \\
\hline\( \vec{a}:=(0,0,1,1)^{\prime} \) & & & \\
\hline\( \vec{b}:=(1,0,3,-1)^{\prime} \) & & & \\
\hline\( \vec{c}:=(-1,0,-1,2)^{\prime} \) & & & \\
\hline\( \vec{d}:=(0,0,2,1)^{\prime} \) & & & \\
\hline
\end{tabular}
(c) Zeigen Sie, dass die Matrix \( A \) nicht diagonalisierbar ist.
Text erkannt:
(a) Für das charakteristische Polynom der Matrix \( A \) gilt
\( \begin{aligned} P_{A}(\lambda) &=\operatorname{det}\left(A-\lambda \cdot E_{4}\right)=\operatorname{det}\left(\left(\begin{array}{cccc} -\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -2-\lambda & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 1-\lambda \end{array}\right)\right) \\ &=(-\lambda \cdot(2-\lambda)+1) \cdot((-2-\lambda) \cdot(1-\lambda)+2)=\left(\lambda^{2}-2 \cdot \lambda+1\right) \cdot\left(\lambda^{2}+\lambda\right) \\ &=(\lambda-1)^{2} \cdot \lambda \cdot(\lambda+1) \end{aligned} \)
Damit ergeben sich die Eigenwerte (Nullstellen von \( \left.P_{A}\right) \lambda_{1}=+1, \lambda_{2}=-1 \) und \( \lambda_{3}=0 \).
(b) Es gilt
\( \int\left(A \cdot(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d})=\left(\begin{array}{cccc}0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & 4 & -2 \\ 0 & -3 & 2 & -1\end{array}\right)\right. \)
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline & \multicolumn{2}{|c|}{ Eigenvektor } & gehört zum \\
Vektor & ja & nein & Eigenwert \\
\hline\( \vec{a}:=(0,0,1,1)^{\prime} \) & \( \times \) & & 0 \\
\hline\( \vec{b}:=(1,0,3,-1)^{\prime} \) & & \( \times \) & \\
\hline\( \vec{c}:=(-1,0,-1,2)^{\prime} \) & & \( \times \) & \\
\hline\( \vec{d}:=(0,0,2,1)^{\prime} \) & \( \times \) & & \( -1 \) \\
\hline
\end{tabular}
