Sei v ∈ K^n ein Eigenvektor von A ∈ Mn(K) zum Eigenwert λ.
==> A*v = λ*v
==> A^2 * v = A * (A*v) = A * ( λ*v ) = λ * (A*v) = λ*( λ*v) = λ^2 *v
etc. So zeigst du mit Induktion für k∈ℕ
A^k * v = λ^k *v .
Und ist nun f ein Polynom aus K[X]
==> Es gibt ein m∈ℕ und ao,...,am aus K mit f(X) = \( \sum \limits_{k=0}^{m} a_k*X^k \)
==> f(A)*v = \( (\sum \limits_{k=0}^{m} a_k*A^k )*v\)
= \( \sum \limits_{k=0}^{m} (( a_k*A^k) *v) \)
= \( \sum \limits_{k=0}^{m} ( a_k*(A^k *v) ) \)
Nach der Vorüberlegung also
= \( \sum \limits_{k=0}^{m} ( a_k*(λ^k *v ) ) \)
= \( \sum \limits_{k=0}^{m}( ( a_k*λ^k) *v ) \)
= \( ( \sum \limits_{k=0}^{m}( a_k*λ^k)) *v \)
= f(λ) * v q.e.d.
