Bestimmen sofern möglich alle/ein a ∈ R so, dass das LGS eindeutig lösbar ist, bzw.

Question

Aufgabe:

Bestimmen sofern möglich – a ∈ R so, dass das LGS

\( \left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right) \cdot x=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \)

a) eindeutig lösbar ist,

b) unendlich viele Lösungen besitzt
c unlösbar ist

Problem/Ansatz:

Habe es in ein LGS umgeschrieben, weiß aber nicht wie ich auf die verschiedenen Lösungsmengen komme.

Comments

Soll das "minus a" heissen oder was bedeutet das Minus?

Answer 1

Aloha :)

Wenn die Determinante einer Matrix \(\ne0\) ist, kann man die Matrix invertieren und es gibt genau eine Lösung:$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{r}0 & 2 & 3\\0 & -1 & 2\\1 & 0 & a\end{array}\right)=4-(-3)=7$$Die Determinante ist unabhängig von \(a\) und ungleich \(0\). Das heißt, egal welchen Wert \(a\) auch hat, das Gleichungssystem ist immer eindeutig lösbar.

Comments

Danke erstmal für deine Antwort :)

könntest du mir sagen wie du auf =4-(-3)=7 kommst?

Das heißt das LGS ist unlösbar wenn a =0 is?

Woher weiß ich denn jetzt, wann das LGS unendlich viele Lösungen besitzt?

LG

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Ich habe die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt, weil da schon 2 Nullen drinstehen, sodass nur eine Unterdeterminante übrig bleibt:$$\left|\begin{array}{r}0 & 2 & 3\\0 & -1 & 2\\1 & 0 & a\end{array}\right|=1\cdot\left|\begin{array}{r}2 & 3\\-1 & 2\end{array}\right|=2\cdot2-(-1)\cdot3=7$$

Da die Determinante \(\ne0\) ist, kannst du für \(a\) alle beliebigen Werte einsetzen, das Gleichungssystem ist immer eindeutig lösbar. Natürlich ist es auch für \(a=0\) eindeutig lösbar.

Answer 2

Z.B. durch Anwenden des Gaußalgorithmus.

Comments

Hallo Lu,

wieso war mein Beitrag keiner Antwort würdig?

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Keine Ahnung. Die war nur ein Kommentar. Habe das nun geändert.

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Da kann ich mir ja schon denken, wer das war.

Danke