Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(X>2.2 , Y < 2.8)?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie den stetigen Zufallsvektor (X,Y), der in [2 , 5] x [2 , 3] gleichverteilt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(X>2.2 , Y < 2.8)?

(Lösung sollte 0.45 sein)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diese Aufgabe nicht, wär froh wenn mir das jemand vorrechnen könnte. Aber bitte Schritt für Schritt damit ich die Rechnung nachvollziehen kann..

Answer 1

Es ist \( X \in [2.0 \ , \ 5.0 ] \) und \( Y \in [ 2.0 \ ,  3.0 ] \)

$$ P(X>2.2, Y<2.8) = \int_{2.0}^{2.8} \int_{2.2}^{5.0} f(x,y) \ dx \ dy $$ Die Dichte \( f(x,y) \) entspricht auf dem Rechteck dem reziproken Flächeninhalt, also \( f(x,y) = \frac{1}{3} \) und sonst ist sie \( 0 \)

Daraus folgt

$$  P(X>2.2, Y<2.8) = \int_{2.0}^{2.8} \int_{2.2}^{5.0} f(x,y) \ dx \ dy = \frac{1}{3} (2.8-2.0)(5.0-2.2) = 0.747 $$